群—深入

几种特殊类型的群

循环群

定义 ：
　循环群（由一个元素生成的群是最简单的群） 若由群G的一个生成元素g的幂次构成G群，即G={g，g2，…，gn}则称G为循环群。元素g称为G的生成元素。

定理：
1）无限循环群必同构于整数加法群 Z ，有限循环群必同构于整数加法群的某个商群 Z/mZ

2)有限循环群G=《a》的子群仍为循环群。确切说，每个s∈Z⩾0对应于子群《as》.有限m阶循环群Zm的子群与m的正因子一一对应
无限循环群的子群除 {e} 以外都是无限循环群，且 Z 的子群与非负整数一一对应。确切说，m的每个正因子对应于Zm的唯一d阶子群《am/d》

引理：
1）设G是交换群，a,b∈G,o(a)=m,o(b)=n，且(m,n)=1，则o(ab)=mn

2）有限交换群中存在一个元素，其阶是群的方次数，即所有元素阶的最小公倍数

命题：
1)设G是有限交换群，则G是循环群的充分必要条件是对于任一正整数m，xm=e在G中最多有m个解

下面命题给出对有限交换群的分类
2)设G是有限交换群,|G|=n,n=pe11....pett，则
G≅⊕ti=1(⊕kij=1Zlijpi)
其中Lij为一组整数，满足∑kij=1lij=ei(∀i=1,...,t)

3)设G是有限交换群，|G|=n，则
G≅⊕ki=1Zdi
其中di(i=1,...,k)为一组正整数，满足d1|d2|...|dk且∏ki=1di=0，这些di(i=1,...,k)称为G的 不变银子

推论：
设G1≅Zm,G2≅Zn,且(m,n)=1,则G1⊕G2≅Zmn

单群及其单性

An（n⩾5）的单性