迷宫问题（maze problem）——深度优先（DFS）与广度优先搜索（BFS）求解
1.问题简介
给定一个迷宫，指明起点和终点，找出从起点出发到终点的有效可行路径，就是迷宫问题（maze problem）。
迷宫可以以二维数组来存储表示。0表示通路，1表示障碍。注意这里规定移动可以从上、下、左、右四方方向移动。坐标以行和列表示，均从0开始，给定起点（0,0）和终点（4,4），迷宫表示如下：
int maze[5][5]={
{0,0,0,0,0},
{0,1,0,1,0},
{0,1,1,0,0},
{0,1,1,0,1},
{0,0,0,0,0}
};那么下面的迷宫就有两条可行的路径，分别为：
（1）(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,4) (2,4) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4)；
（2）(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ；
可见，迷宫可行路径有可能是多条，且路径长度可能不一。
2.求解方法
迷宫问题的求解可以抽象为连通图的遍历，因此主要有两种方法。
第一种方法是：深度优先搜索（DFS）加回溯。
其优点：无需像广度优先搜索那样（BFS）记录前驱结点。
其缺点：找到的第一条可行路径不一定是最短路径，如果需要找到最短路径，那么需要找出所有可行路径后，再逐一比较，求出最短路径。
第二种方法是：广度优先搜索（BFS）。
其优点：找出的第一条路径就是最短路径。
其缺点：需要记录结点的前驱结点，来形成路径。
下面将给出上面两种方法的具体步骤和实现。
3.方法详解与具体实现
3.1深度优先搜索（DFS）加回溯求解第一条可行路径
3.1.1实现步骤
（1）给定起点和终点，判断二者的合法性，如果不合法，返回；
（2）如果起点和终点合法，将起点入栈；
（3）取栈顶元素，求其邻接的未被访问的无障碍结点。求如果有，记其为已访问，并入栈。如果没有则回溯上一结点，具体做法是将当前栈顶元素出栈。
其中，求邻接无障碍结点的顺序可任意，本文实现是以上、右、下、左的顺序求解。
（4）重复步骤（3），直到栈空（没有找到可行路径）或者栈顶元素等于终点（找到第一条可行路径）。
3.1.2具体实现
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
struct Point{
//行与列
int row;
int col;
Point(int x,int y){
this->row=x;
this->col=y;
}
bool operator!=(const Point& rhs){
if(this->row!=rhs.row||this->col!=rhs.col)
return true;
return false;
}
};
//func:获取相邻未被访问的节点
//para:mark:结点标记，point：结点，m：行，n：列
//ret:邻接未被访问的结点
Point getAdjacentNotVisitedNode(bool** mark,Point point,int m,int n){
Point resP(-1,-1);
if(point.row-1>=0&&mark[point.row-1][point.col]==false){//上节点满足条件
resP.row=point.row-1;
resP.col=point.col;
return resP;
}
if(point.col+1<n&&mark[point.row][point.col+1]==false){//右节点满足条件
resP.row=point.row;
resP.col=point.col+1;
return resP;
}
if(point.row+1<m&&mark[point.row+1][point.col]==false){//下节点满足条件
resP.row=point.row+1;
resP.col=point.col;
return resP;
}
if(point.col-1>=0&&mark[point.row][point.col-1]==false){//左节点满足条件
resP.row=point.row;
resP.col=point.col-1;
return resP;
}
return resP;
}
//func：给定二维迷宫，求可行路径
//para:maze：迷宫；m：行；n：列；startP：开始结点 endP：结束结点； pointStack：栈，存放路径结点
//ret:无
void mazePath(void* maze,int m,int n,const Point& startP,Point endP,stack<Point>& pointStack){
//将给定的任意列数的二维数组还原为指针数组，以支持下标操作
int** maze2d=new int*[m];
for(int i=0;i<m;++i){
maze2d[i]=(int*)maze+i*n;
}
if(maze2d[startP.row][startP.col]==1||maze2d[endP.row][endP.col]==1)
return ; //输入错误
//建立各个节点访问标记
bool** mark=new bool*[m];
for(int i=0;i<m;++i){
mark[i]=new bool[n];
}
for(int i=0;i<m;++i){
for(int j=0;j<n;++j){
mark[i][j]=*((int*)maze+i*n+j);
}
}
//将起点入栈
pointStack.push(startP);
mark[startP.row][startP.col]=true;
//栈不空并且栈顶元素不为结束节点
while(pointStack.empty()==false&&pointStack.top()!=endP){
Point adjacentNotVisitedNode=getAdjacentNotVisitedNode(mark,pointStack.top(),m,n);
if(adjacentNotVisitedNode.row==-1){ //没有未被访问的相邻节点
pointStack.pop(); //回溯到上一个节点
continue;
}
//入栈并设置访问标志为true
mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=true;
pointStack.push(adjacentNotVisitedNode);
}
}
int main(){
int maze[5][5]={
{0,0,0,0,0},
{0,1,0,1,0},
{0,1,1,0,0},
{0,1,1,0,1},
{0,0,0,0,0}
};
Point startP(0,0);
Point endP(4,4);
stack<Point> pointStack;
mazePath(maze,5,5,startP,endP,pointStack);
//没有找打可行解
if(pointStack.empty()==true)
cout<<"no right path"<<endl;
else{
stack<Point> tmpStack;
cout<<"path:";
while(pointStack.empty()==false){
tmpStack.push(pointStack.top());
pointStack.pop();
}
while (tmpStack.empty()==false){
printf("(%d,%d) ",tmpStack.top().row,tmpStack.top().col);
tmpStack.pop();
}
}
getchar();
}
程序输出：path:(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,4) (2,4) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4)。
可见该条路径不是最短路径。因为程序中给定的迷宫还有一条更短路径为：(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ；
如果我们调整调用寻找下一个未访问的相邻结点的顺序，可换成先左右，后上下，可能会得到更短的路径，但无法确保在任何情况下都能得到最短路径。
3.2改进深度优先搜索（DFS）加回溯求解最短路径
3.2.1改进办法
根据上面的方法我们可以在此基础之上进行改进，求出迷宫的最短的路径。具体做法如下：
（1）让已经访问过的结点可以再次被访问，具体做法是将mark标记改为当前结点到起点的距离，作为当前结点的权值。即从起点开始出发，向四个方向查找，每走一步，把走过的点的值+1；
（2）寻找栈顶元素的下一个可访问的相邻结点，条件就是栈顶元素的权值加1必须小于下一个节点的权值(墙不能走，未被访问的结点权值为0)；
（3）如果访问到终点，记录当前最短的路径。如果不是，则继续寻找下一个结点；
（4）重复步骤（2）和（3）直到栈空（迷宫中所有符合条件的结点均被访问）。
3.2.2具体实现
#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;
struct Point{
//行与列
int row;
int col;
Point(int x,int y){
this->row=x;
this->col=y;
}
bool operator!=(const Point& rhs){
if(this->row!=rhs.row||this->col!=rhs.col)
return true;
return false;
}
bool operator==(const Point& rhs) const{
if(this->row==rhs.row&&this->col==rhs.col)
return true;
return false;
}
};
int maze[5][5]={
{0, 0, 0, 0,0},
{0,-1, 0,-1,0},
{0,-1,-1, 0,0},
{0,-1,-1, 0,-1},
{0, 0, 0, 0, 0}
};
//func:获取相邻未被访问的节点
//para:mark:结点标记；point：结点；m：行；n：列;endP:终点
//ret:邻接未被访问的结点
Point getAdjacentNotVisitedNode(int** mark,Point point,int m,int n,Point endP){
Point resP(-1,-1);
if(point.row-1>=0){
if(mark[point.row-1][point.col]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row-1][point.col]){//上节点满足条件
resP.row=point.row-1;
resP.col=point.col;
return resP;
}
}
if(point.col+1<n){
if(mark[point.row][point.col+1]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row][point.col+1]){//右节点满足条件
resP.row=point.row;
resP.col=point.col+1;
return resP;
}
}
if(point.row+1<m){
if(mark[point.row+1][point.col]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row+1][point.col]){//下节点满足条件
resP.row=point.row+1;
resP.col=point.col;
return resP;
}
}
if(point.col-1>=0){
if(mark[point.row][point.col-1]==0||mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row][point.col-1]){//左节点满足条件
resP.row=point.row;
resP.col=point.col-1;
return resP;
}
}
return resP;
}
//func：给定二维迷宫，求可行路径
//para:maze：迷宫；m：行；n：列；startP：开始结点 endP：结束结点； pointStack：栈，存放路径结点;vecPath:存放最短路径
//ret:无
void mazePath(void* maze,int m,int n, Point& startP, Point endP,stack<Point>& pointStack,vector<Point>& vecPath){
//将给定的任意列数的二维数组还原为指针数组，以支持下标操作
int** maze2d=new int*[m];
for(int i=0;i<m;++i){
maze2d[i]=(int*)maze+i*n;
}
if(maze2d[startP.row][startP.col]==-1||maze2d[endP.row][endP.col]==-1)
return ; //输入错误
//建立各个节点访问标记，表示结点到到起点的权值，也记录了起点到当前结点路径的长度
int** mark=new int*[m];
for(int i=0;i<m;++i){
mark[i]=new int[n];
}
for(int i=0;i<m;++i){
for(int j=0;j<n;++j){
mark[i][j]=*((int*)maze+i*n+j);
}
}
if(startP==endP){//起点等于终点
vecPath.push_back(startP);
return;
}
//增加一个终点的已被访问的前驱结点集
vector<Point> visitedEndPointPreNodeVec;
//将起点入栈
pointStack.push(startP);
mark[startP.row][startP.col]=true;
//栈不空并且栈顶元素不为结束节点
while(pointStack.empty()==false){
Point adjacentNotVisitedNode=getAdjacentNotVisitedNode(mark,pointStack.top(),m,n,endP);
if(adjacentNotVisitedNode.row==-1){ //没有符合条件的相邻节点
pointStack.pop(); //回溯到上一个节点
continue;
}
if(adjacentNotVisitedNode==endP){//以较短的路劲，找到了终点,
mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=mark[pointStack.top().row][pointStack.top().col]+1;
pointStack.push(endP);
stack<Point> pointStackTemp=pointStack;
vecPath.clear();
while (pointStackTemp.empty()==false){
vecPath.push_back(pointStackTemp.top());//这里vecPath存放的是逆序路径
pointStackTemp.pop();
}
pointStack.pop(); //将终点出栈
continue;
}
//入栈并设置访问标志为true
mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=mark[pointStack.top().row][pointStack.top().col]+1;
pointStack.push(adjacentNotVisitedNode);
}
}
int main(){
Point startP(0,0);
Point endP(4,4);
stack<Point> pointStack;
vector<Point> vecPath;
mazePath(maze,5,5,startP,endP,pointStack,vecPath);
if(vecPath.empty()==true)
cout<<"no right path"<<endl;
else{
cout<<"shortest path:";
for(auto i=vecPath.rbegin();i!=vecPath.rend();++i)
printf("(%d,%d) ",i->row,i->col);
}
getchar();
}程序输出最短路径如下：
如果将程序的迷宫改为如下:
int maze[5][3]={
0, -1, 0,
0, -1 ,0,
1, -1, 0 ,
0, -1, 0,
0 ,0, 0};输出：
代码相关说明：
对比3.1.2的代码，根据改进的办法，可以看到上段代码修改的地方主要有三个地方：
（1）mark标记改为结点权值，记录起点到结点的路径长度。因此起点的权值为0。
（2）为适应mark标记，将迷宫的墙改为-1，以免与结点权值混淆。
（3）求解下一个访问的结点，判断条件是结点的权值要小于其当前权值。
3.3广度优先搜索（BFS）求解迷宫的最短路径
广度优先搜索的优点是找出的第一条路径就是最短路径，所以经常用来搜索最短路径，思路和图的广度优先遍历一样，需要借助于队列。
具体步骤：
（1）从入口元素开始，判断它上下左右的邻边元素是否满足条件，如果满足条件就入队列；
（2）取队首元素并出队列。寻找其相邻未被访问的元素，将其如队列并标记元素的前驱节点为队首元素。
（3）重复步骤（2），直到队列为空（没有找到可行路径）或者找到了终点。最后从终点开始，根据节点的前驱节点找出一条最短的可行路径。
具体实现：
以C++为例：
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
struct Point{
//行与列
int row;
int col;
//默认构造函数
Point(){
row=col=-1;
}
Point(int x,int y){
this->row=x;
this->col=y;
}
bool operator==(const Point& rhs) const{
if(this->row==rhs.row&&this->col==rhs.col)
return true;
return false;
}
};
int maze[5][5]={
{0,0,0,0,0},
{0,1,0,1,0},
{0,1,1,1,0},
{0,1,0,0,1},
{0,0,0,0,0}
};
void mazePath(void* maze,int m,int n, Point& startP, Point endP,vector<Point>& shortestPath){
int** maze2d=new int*[m];
for(int i=0;i<m;++i){
maze2d[i]=(int*)maze+i*n;
}
if(maze2d[startP.row][startP.col]==1||maze2d[startP.row][startP.col]==1) return ; //输入错误
if(startP==endP){ //起点即终点
shortestPath.push_back(startP);
return;
}
//mark标记每一个节点的前驱节点，如果没有则为（-1，-1），如果有，则表示已经被访问
Point** mark=new Point*[m];
for(int i=0;i<m;++i){
mark[i]=new Point[n];
}
queue<Point> queuePoint;
queuePoint.push(startP);
//将起点的前驱节点设置为自己
mark[startP.row][startP.col]=startP;
while(queuePoint.empty()==false){
Point pointFront=queuePoint.front();
queuePoint.pop();
if(pointFront.row-1>=0 && maze2d[pointFront.row-1][pointFront.col]==0){//上节点连通
if(mark[pointFront.row-1][pointFront.col]==Point()){//上节点未被访问，满足条件，如队列
mark[pointFront.row-1][pointFront.col]=pointFront;
queuePoint.push(Point(pointFront.row-1,pointFront.col)); //入栈
if(Point(pointFront.row-1,pointFront.col)==endP){ //找到终点
break;
}
}
}
if(pointFront.col+1<n && maze2d[pointFront.row][pointFront.col+1]==0){//右节点连通
if(mark[pointFront.row][pointFront.col+1]==Point()){//右节点未被访问，满足条件，如队列
mark[pointFront.row][pointFront.col+1]=pointFront;
queuePoint.push(Point(pointFront.row,pointFront.col+1)); //入栈
if(Point(pointFront.row,pointFront.col+1)==endP){ //找到终点
break;
}
}
}
if(pointFront.row+1<m && maze2d[pointFront.row+1][pointFront.col]==0){//下节点连通
if(mark[pointFront.row+1][pointFront.col]==Point()){//下节点未被访问，满足条件，如队列
mark[pointFront.row+1][pointFront.col]=pointFront;
queuePoint.push(Point(pointFront.row+1,pointFront.col)); //入栈
if(Point(pointFront.row+1,pointFront.col)==endP){ //找到终点
break;
}
}
}
if(pointFront.col-1>=0 && maze2d[pointFront.row][pointFront.col-1]==0){//左节点连通
if(mark[pointFront.row][pointFront.col-1]==Point()){//上节点未被访问，满足条件，如队列
mark[pointFront.row][pointFront.col-1]=pointFront;
queuePoint.push(Point(pointFront.row,pointFront.col-1)); //入栈
if(Point(pointFront.row,pointFront.col-1)==endP){ //找到终点
break;
}
}
}
}
if(queuePoint.empty()==false){
int row=endP.row;
int col=endP.col;
shortestPath.push_back(endP);
while(!(mark[row][col]==startP)){
shortestPath.push_back(mark[row][col]);
row=mark[row][col].row;
col=mark[row][col].col;
}
shortestPath.push_back(startP);
}
}
int main(){
Point startP(0,0);
Point endP(4,4);
vector<Point> vecPath;
mazePath(maze,5,5,startP,endP,vecPath);
if(vecPath.empty()==true)
cout<<"no right path"<<endl;
else{
cout<<"shortest path:";
for(auto i=vecPath.rbegin();i!=vecPath.rend();++i)
printf("(%d,%d) ",i->row,i->col);
}
getchar();
}程序输出：
代码的几点说明：
（1）BFS求迷宫最短路径，记录每个节点的前驱节点使用了mark标记。可见，三种方法中mark标记可以根据实际需求灵活为其赋予意义。
（2）特殊的，起始节点的前驱设置为其本身。
小结
告诫。看着别人的代码去理解问题是如何求解的，对于求解算法题来说，这种方法是错误的。正确的步骤是看别人的思路，理解如何求解后，给出自己的实现，才能够真正的深刻的掌握该题的求解。经过自己思考的才能真正成为自己的东西。不然的话，看着别人的代码痛苦不说，而且每个人的实现在很多细节都不相同，即是花了很长时间，暂时弄明白了，我想过不了多久就会忘记。这样，得不偿失啊！
参考文献
[1]http://blog.csdn.net/a1259109679/article/details/48084951
[2]http://blog.csdn.net/bone_ace/article/details/41283585