HDU 1290 献给杭电五十周年校庆的礼物（递推）
或许你依然心怀忧伤
或许你近在咫尺
或许你我天各一方
对于每一个学子
母校
永远航行在
生命的海洋
今年是我们杭电建校五十周年，这是一个值得祝福的日子。我们该送给母校一个怎样的礼物呢？对于目前的大家来说，最好的礼物当然是省赛中的好成绩，我不能参赛，就送给学校一个DOOM III球形大蛋糕吧，这可是名牌，估计要花掉我半年的银子呢。
想象着正式校庆那一天，校长亲自操刀，把这个大蛋糕分给各地赶来祝贺的校友们，大家一定很高兴，呵呵，流口水了吧...
等一等，吃蛋糕之前先考大家一个问题：如果校长大人在蛋糕上切了N刀（校长刀法极好，每一刀都是一个绝对的平面），最多可以把这个球形蛋糕切成几块呢？
做不出这个题目，没有蛋糕吃的！
为-了-母-校-，为-了-蛋-糕-（不是为了DGMM，枫之羽最会浮想联翩...），加-油-！
1 2 3
2 4 8
一、先要弄清楚直线分割平面的问题。
都知道，直线要分割平面最多的前提条件是：任意两条直线都要相交，且任意三条直线不能有同一个交点。
一条直线把平面分成两部分，即 f(1) = 2；
两条直线把平面分成四部分，即 f(2) = 4；
..............
设n-1条直线把平面分成f(n-1)；
接下来看看f(n)与f(n - 1)的关系. n条直线要想分得最多的部分。则第n条直线与n - 1条直线任意直线都要相交，且任意三条直线不能有同一个交点。那么第n条直线与其他直线有n - 1个交点，这n - 1个交点把第n条直线分成了n段，通过画图可知，这n段把它所在的区域一分为二。即f(n) = f(n - 1) + n；
由此可知
f(1) = 2;
f(2) =f(1) + 2;
f(1) =f(2) + 3;
.................
f(n - 1) = f(n - 2) + n -1 ;
f(n) = f(n - 1 ) + n;
则f(n) = f(1) + 2 + 3 + 4 + 5 + +n；
则直线分最大平面的通项为 f(n) = 1/2 * (n*n + n) + 1; 可以看出n = 1是也符合。
二、平面分空间
跟直线分平面一样，这里也是 要任意两个平面都相交，且任意三个平面不能有同一交线
一个平面把空间分成2部分，两个平面把空间分成4部分，3个平面把空间分成八部分、、、判断n个平面最大分割空间数目。F(n) = ？。
PS：刚开始一直不明白3个平面把空间分成把部分是怎么做到的，其实是第3个平面与前2个平面有两条交线，因为在空间可以假设无限大，那个可以是这两条交线在第三个平面内相交，那第三个平面就被分成4部分，每部分把它原来的区域一分为2 ，那个就比F(2)多了4部分。即为8.
根据3个平面的情况应该就知道公式，直接给出
F(n) = 2 + 1 / 2 *(1 * 1 + 1) + 1+ 1 / 2 *(2 * 2 + 2) + 1+ 1 / 2 *(3 * 3 + 3) + 1 + + 1 / 2 *((n - 1) * (n - 1) + (n - 1)) + 1
F(n) = n + 1 + 1 / 2 * (1 * 1 + 2 * 2 + 3 * 3 + + (n - 1) * (n - 1) ) + 1 / 2 * ( 1 + 2 + 3 + 4 + + (n - 1))
最后求出通项公式即为 F(n) = (n * n * n + 5 * n + 6) / 6; 带入1，也符合通项。
PS：平方项的通项公式如何求？百度一下。。。。。囧~~~~
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 具体算法 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加就得到咯代码如下
#include<stdio.h>
int main()
{
long long n;
while(scanf("%lld",&n) != EOF)
{
n = (n * n * n + 5 * n + 6) / 6;
printf("%lld\n",n);
}
return 0;
}
推广一下，
折线分平面（摘自网络）。
根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为
f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……
=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
=2n^2-n+1。