LU分解(matlab实现)

LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

主要的算法思路是从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这个单位下三角矩阵就是L.而变换最后得到的上三角矩阵就是U.
分解算法如下：（其中 alpha 代表 L矩阵的元素，beta代表U矩阵的元素）


Matlab实现：

% find the LU factorization of the matrix
% input:
% a: the matrix need to be factorize
% n: the number of the low or column in the matrix
% output:
% no output
function LU(a,n)
m = zeros(n,n);             % initial the n*n matrix m zeros 
for i = 1:n;     m(i,i) = 1;  end   % let the diagonal elements be 1 
for j = 1 : n-1
    if abs(a(j,j))<eps; 
        error('zero pivot encountered');    % when the zero pivot happens,end the process
    end
    for i = j+1 : n
        mult = a(i,j)/a(j,j);
        m(i,j) = mult;  
        for k = j:n
            a(i,k) = a(i,k) - mult*a(j,k);
        end
    end
end
disp(' L=');  disp(m);
disp(' U=');  disp(a);
disp(' LU='); disp(m*a);          % to check if the result is right

其实Matlab也内置有LU分解的函数，说明如下：

• [L,U] = lu(A)
  将矩阵A分解的上三角矩阵保存在U当中，将一个“心理学上的”下三角矩阵（例如一个下三角矩阵和置换矩阵的乘积）保存在L中，满足
  A=L*U，注意A不必须是方阵。
• [L,U,P] = lu(A)
  返回三个矩阵，下三角矩阵L、上三角矩阵U和一个置换矩阵P，满足P*A=L*U。
• [L,U,p] = lu(A,’vector’)
  将使用向量而不是矩阵的方式返回置换信息，p是一个行向量，满足A(p,:) = L*U，如果使用[L,U,P] = lu(A,’matrix’)则返回的P是向量，这也是默认的形式