[置顶] 活动选择问题（1）-动态规划分析

数学问题一般分为三类

1. 计数问题
2. 存在问题
3. 优化问题

对于活动选择问题，很多人应该对此感到很熟悉，它属于优化问题，问题描述：
假设有一组活动集合，S={ s1,s2,...,sn },这些活动同时只能使用同一个资源，而这个资源在某个时刻只能提供一个活动使用。每个活动 si 都存在有开始时间 ai 和 结束时 bi ，其中0 ≤ ai < fi < ∞ 。在活动问题中，我们希望选出一个组活动，使这些活动的数量最多，即能更好的利用当前资源。

如果用直接的想法，会是如下的解决方案：

• 由于不知道最后的解的数量，我们假设解的数量是 kmax ，为了得到 kmax ,最多要尝试n种情况，即n，n-1，n-2…..1，代表最优解是否可以为n，是否可以为n-1，是否可以为n-2，如果存在这样的解，那么就是最优的，返回结果……如果都不存在，那么就是1了。
• 对于每一种情况 ni ，有 (nni) 种选择
• 对于每种选择，我们可以通过基于比较的方法来检测活动是否冲突，按照活动结束时间排序当前活动集合
• 遍历排序后的集合，得到最大兼容活动数量

其中第三条排序可以放到第一步去做，这样就不用每次都在选择集合中排序了。以上的解决方法遍历了所有可能的情况，至少存在一组集合不存在冲突，且兼容活动数量最大。不难发现最多共选择了n集合的所有非空子集合，为 2n−1 种情况，为非多项式时间的解决方案。

虽然遍历所有方案并不是一个可行的方法，但是至少确定先对问题进行排序可以方便运算与观察，并且基于比较排序本身所花费的时间为 O(nlogn) ，其实发现这些隐含的信息是很重要的，活动选择问题对活动的开始结束时间有着严格的限制，通过排序可以明显的发现这些限制，甚至很好的利用它们，即假定活动已按结束时间的单调递增顺序排序：

b1≤b2≤b3...≤bn−1≤bn

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对于求解优化问题，首先可以试一试用动态规划的方法求解该问题。
需要验证：

1. 子问题是否是重叠的
2. 是否具有最优子结构性质

定义：
Si j 表示在 si 结束之后开始，且在 sj 开始之前的结束活动集合。
Aij 表示 Si j 的所有相容子集的非空族, Mij 表示 Si j 的所有最大相容子集非空族， Nij 表示 Si j 的其中的一个最大相容子集，显然 Mij ⊆ Aij ， Nij ∈ Mij 。

上面的一些定义是为了更好的理解问题的包含关系， Si j 可能包含多个相容子集，更可以包含多个最大相容子集，我们所关心的是其中的一个最大相容子集，并不要求获取所有的最大相容子集。

如图所示，其中
S17 ={ s3,s4,s5,s6 }, S18 ={ s3 }，
M17 包含集合{ s3,s4 }、{ s3,s5 }、{ s3,s6 }

我们可能一开始可能不会很好地找到符合条件的规划，比如我们可能会想到下面的选择方法。

方法一：

通过：如下图所示（ si ….. sn ）表示待选剩余活动的集合。

很明显得到，图中标注的两个选择子问题是相同的，所以活动安排问题具有子问题重叠性。

按照上述那么活动安排问题是否具有最优子结构性质呢？

设 N 表示 Si n 的其中的一个最大相容子集，当考虑了活动 si 之后，那么得到子问题为寻找 Si+1,n 中的最大相容子集，设 M 为 Si+1,n 的最优解。

证明：若 M 不是 Si+1,n 的最优解，则存在 M0 是 Si+1,n 的最优解,即 |M0|>|M| ,假设选择了活动 si ，对于 M0 来说，虽然在 Si+1,n 是最优的，但是并不能保证跟已选择的活动相容，也就是说并不比 M0 优的选择 M 也能达到同样的选择结果。

反证并不成立，我们证明不了这种策略具有最优子结构，这种方法适用于动态规划。
首先说明上面定义的变量，下文中还会用到。

方法二：

如果只想到了方法一也没关系，其实只要对上述方法稍微改进一下就可以了，如果我们把上述的子问题改子问题为寻找 Si+1,n 中，且 其中每个活动都与 Si 兼容（添加了一种规则） 的最大相容子集成，那么我们的最有子结构性质就成立了（同样利用反证法），一旦最优子结构成立，我们就可以通过解决子问题来解决最终问题。

对于一般情况，从上文分析与最优子结构性质可以得出， N 的活动数为 M 加1，即 |N|=max|Mu|(i≤u≤n) ,也就是说只要逐次解决子问题就可以了。

时间上，我们不得不对所有活动两两比较，比较次数为 n(n−1)/2 。
空间上除输入需要2n个空间外，还有必要加上n个存储空间记录比较结果。