3303 翻转区间 伸展树的解法

题目描述 Description

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列，序列初始化为1、2、3、4……，

操作如下：翻转一个区间，例如原有序序列是1 2 3 4 5，翻转区间是[2,4]的话，结果是1 4 2 3 5，如果在此基础上（1 4 2 3 5）再次翻转的区间为[3 5]，那么结果为：1 4 5 3 2

输入描述 Input Description

第一行为n,m n表示初始序列有n个数，这个序列依次是(1,2……n-1,n)
 m表示翻转操作次数，接下来m行每行两个数[l,r] 数据保证 1 < =l < = r < =n

输出描述 Output Description

输出一行n个数字，表示原始序列经过m次变换后的结果

样例输入 Sample Input

5 3

1 3

1 3

1 4

 

样例输出 Sample Output

4 3 2 1 5

数据范围及提示 Data Size & Hint

（n,m < =100000）

题目分析：

题目给定一个递增序列，以1 2 3 4 5 为例，要求对某个子区间旋转。 

例如 1-3, 1-4 。 先将1号位置和3位置翻转后，得 32145 然后对1号对4号位置区间旋转，得到41235。  翻转不管怎么翻，是与位置相关，而位置的1...n 顺序是不会变的。 

将这个连续的位置(1,2,3,4,5,6,7 其中 1号，7号位置是边界 2,3,4,5,6 分别表示原来的1号位到5号位)构建成一颗树。得到下图一所示的树。

翻转的位置对应中序遍历过程中第i个结点的位置。

          图1

若1-3位置进行翻转，即图中2-4号结点翻转即可，那么只要将2,3,4放到某颗子树中，然后对这颗子树通过递归地交换左右子枝，最后中序遍历即可得到翻转的结果。

因此将 1号边界调整为根，5号（2-4的右边界）调整为1号的右子树，而将剩余的结点“卡”在这两个结点之间，随后对这两个(1,5)结点

间的子树递归的交换其左右子树即可。 而调整1，5通过伸展操作，进行调整，调整完毕结果如下图2。

图2

递归交换4这颗子树的左右枝得到图3所示的树。

图3

中序遍历(边界点不打印)这颗树得到序列43256 （打印出来的值为32145），那么

原位置与值对应关系

      1    2  3  4  5  6  7

      INF 1  2  3  4  5  INF

变为

     1    2  3  4  5  6  7       

     INF 3  2  1  4  5  INF

需要注意的是，当给定多个要翻转的区间时，边界结点位置是中序遍历过程中第 i 个结点的位置，

例如给定 1-3 ， 2-4，第一次splay操作后将4,3,2 卡在了1，5之间，其边界是1，和5，而1是图一中，中序遍历得到的第一个结点，即1，而5是中序遍历得到的第5个结点，即5。而第二次，反转2-4时，边界是2，6（1号是INF,2记录1号位置...n+1号位置记录n），那么图3中中序遍历访问的第2个点是4，中序遍历的第6个点是6号。

如上所述一次反转操作涉及到两个点的“伸展”操作，而伸展操作完毕后，对子树的根需要加上翻转标记，当被打印，或下一次伸展操作时，更新标记，并向下传递，更新子树的标记，即所说的延迟更新。

伸展树的基本内容可参考 [1]。

最后再说一下翻转时的两次伸展操作,其中以l,r 表示序列的左右边界。

第一次将左边界(中序遍历中第l个位置上的点)调整到根root的位置

splay(root,l)   

当调整完后l成为新的根。

经过第一次调整后，l之后的点都在根的右侧，因此第2次将第中序遍历中第r+1（r的边界）个位置上的点调整到新根的右子树根位置， 

splay(right[l],r+1-right[l].len); 

主要需要了解的就这些了，代码可以参考[2]中的代码。

参考资料：

[1] 伸展树wikiepedia讲解，http://en.wikipedia.org/wiki/Splay_tree

[2] 代码参考 https://code.csdn.net/snippets/608231