Manacher算法-求字符串中最长回文串

一、算法原理

Manacher算法在对求字符串中最长回文串问题中，具有O(n)时间和空间复杂度。算法的精妙之处在于巧妙的利用了回文串的对偶性质。

第一步：对字符间添加间隔符，（例如，字符串aababcdab，通过添加间隔符转化为 #a#a#b#a#b#c#d#a#b#）从而避免了字符串的奇偶性问题，为了避免算法中考虑边界问题，可以在字符串首尾加入奇异符号（例如，$#a#a#b#a#b#c#d#a#b#&，因为C/C++字符串中有结束符\0，所以可可以省略尾端加入的奇异符）；

第二步：更新模式数组p[]，这里也是Manacher算法的核心所在，我当初看这块时纠结了好长时间。首先通过图片来说明一下：
假设当前处理位置在i点，且 i < mx（mx为关于坐标k对称子串的右边界为），即P[k] = mx - k。此时忽略左边界mx’又 i 关于 k 对称的坐标为 j ，这时就可以分成两种情况：

1. P[j] > mx - i + 1 时，P[i] = mx - i + 1；因为 mx 和 mx’ ，i 和 j 为关于k对称，所以 S[ mx’, ~ ,j ] = S[ i, ~ ,mx ]。如果 P[i] > mx - i + 1，也即 S[mx+1] = S[2*i - mx - 1]，而已知：S[mx’ -1] = S[2*j - mx’ + 1 ]，j + i= 2*k，mx’ + mx= 2*k ，所以有S[mx’-1] = S[mx+1]，这时以k为中心对称子串右边界变为了mx+1，矛盾。
   

2. P[j] == mx - i + 1 时，P[i] >= P[j]；证明方法和上面一样。

3. P[j] <”mx - i + 1 时，P[i] = P[j]；证明方法和上面一样。
   对于其他情况就需要重新匹配了。
   

第三步：找到（也可以在更新P[]时记录最大数）模式数组P[]中最大数减一，即为字符串中最大回文串长度。

二、程序

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int LongestPalindromicSubstring(const string& S, int& maxPos)
{
    int *p = new int[S.size() + 1];
    memset(p, 0, sizeof(p));
    int mx = 0, k = 0;
    int maxLength = 0;
    bool reCompute = false;
    for(int i = 1; i < S.size(); i++)
    {
        if( mx > i ) {
            p[i] = (p[2*k - i] < (mx - i) ? p[2*k - i] : (mx - i + 1));
            reCompute = p[2*k - i] == (mx - i + 1) ? true : false;
        }
        else {
            p[i] = 1;
            reCompute = true;
        }
        if( reCompute )
        {
            for(; S[ i+p[i] ] == S[i - p[i] ]; ++p[i]); 
        }
        if( p[i] > maxLength)
        {
            maxPos = i;
            maxLength = p[i];
        }
        if(i + p[i] > mx)
        {
            mx = i + p[i] - 1;
            k = i;
        }
        cout << S[i] << " ";
        reCompute = false;
    }
    cout << endl;
    for(int i = 1; i < S.size(); i++)
    {
        cout << p[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    maxPos = maxPos/2 - 1 - --maxLength/2;
    delete  p;
    return maxLength;
}
int main()
{
    string S = "aabababab";
    string S_Process;
    S_Process += "$#";
    for(int i = 0; i < S.size(); i++)
    {
        S_Process += S[i];
        S_Process += "#";
    }
    cout << S_Process << endl;
    int pos = 0;
    int length = LongestPalindromicSubstring(S_Process, pos);
    cout << "max Longest Palindromic Substring is : " << S.substr(pos, length) << endl;
    cout << "max length : " << length << endl; 
    return 0;
}

结果：