回溯 图着色问题

图着色问题（Graph Coloring Problem, GCP），又称着色问题，是最著名的NP-完全问题之一。

给定一个无向图G＝（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的K值。

先考虑三着色问题。

思路：

1.对图中的每个顶点，选择三种颜色之一对其进行着色。

2.如果该着色合法，那么检测是否图中所有的顶点都已经着色，如果是，输出该着色方案；否则，选择另外一个顶点进行着色。

3.如果三种颜色都尝试过且没有成功，那么回溯到父节点。

图由Graph表示，定义如下：

struct Graph{
        int **weight;//邻接矩阵，这里不需要权值，所以边全用1表示
        size_t number_of_vertices;//顶点数
        size_t number_of_edges;//边数
        size_t *color;//保存每个顶点的着色
};

递归版本：

void graph_coloring_recursive( Graph *thiz, size_t k, size_t num_of_color )
{
        if( k > thiz->number_of_vertices )
                return;
        int i = 1;
        while( i <= num_of_color ){
                thiz->color[k-1] = i;
                if( if_valid( thiz, k, num_of_color ) )//合法
                {   
                        if( k < thiz->number_of_vertices )//加上=后就不会调用graph_painting_print了。
                                graph_coloring_recursive( thiz, k+1, num_of_color );
                        else
                                graph_painting_print( thiz );
                }   
                ++i;
        }   
}

非递归版本如下：

void graph_coloring( Graph *thiz, size_t num_of_color )
{
        int i = 1;
        while( i >= 1 )//对每个顶点进行着色
        {
                while( thiz->color[i-1] < num_of_color )
                {
                        thiz->color[i-1] += 1;//初始时各顶点的color值都为0，表示没有进行着色.
                        if( if_valid( thiz, i, num_of_color ) )//合法
                        {
                                if( i < thiz->number_of_vertices ) //部分解
                                {
                                    ++i;//下一个节点
                                }else{//最后一个节点，为全部解,输出结果
                                        graph_painting_print( thiz );
                                }
                        }
                }
                thiz->color[i-1] = 0;//此为回溯部分,将当前节点color值置为0，回到上一层节点。
                --i;
        }
}

和八皇后的程序对比一下发现两个程序很像，当然都是回溯算法的例子，思路都一样。

程序文件下载：