欧几里德算法计算GCD

  引言：
  在数论方面，有很多地方需要计算最大公约数（Greatest Common Dividor)，GCD的计算法主要直接分解因式后提取最大公因式的因式分解法，还有普通使用的欧几里德算法。
   预备知识：
  整数除法：中学阶段，我们知道对于两个整数a,b，如果a=b*q+r,其中q,r是整数，并且的0<=r<q,  那么q又叫做商(q>=1)，r叫做余数。
  如果r=0,我们称a能被b整除，记做b|a。定义整除运算 q=a/b;
  定义余除运算r=a%b;
 整数除法的性质：
 1.若 b|a => 则a>=b ;因为a=b*q,q>=1 那么a>=b;
 2.若 b|a ,a｜c，则b|c;因为a=b*q,c=q * b，那么c=p *  q * a;
 3.0不能做除数    ;
 4.约数：若a|b，则a叫做b的约数
 5.公约数：若a｜b,a|c，则a叫做b,c的公约数。

欧几里德计算最大公约数使用到的性质：gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
(我们假设a>=b)
证明：设从这个假设中， 我们事可以看出最终是会被整除的。
因些，整除,然后，由倒数第二个式子，，也会整除Rn,我们沿着这些式子向上用

去除各个Ri，我们发现，，都可以整除它们。
直到我们到达第一个式子，我们依然发现， 是会整除这个式子的第一项。
从这个我们可以确定： 是每一个式子的因子，当然也就是会A、B的公因数。
现在， 我们来证明是所有以上每个式子内部的各单项式的最大公因式（数）。
假设，存在一个公因式d,使得，并且,我们在刚刚使用过的那组式子（）中从上往下用d去除以每一个式子的单项式。对于,因为d整除a和b,那么d当然也会整除;然后，我们再看第二个式子,因为d整除b和(刚刚论证)，那么d整除;利用这样的思路，我们从上往下对每个式子都这么处理;直到到了最后一个式子
,同样的原因，d必然会整除，由上面的性质得到，同时,因此
由gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，及我们上面的证明过程，我们就可以写出计算gcd(a,b)的函数了。

int gcd(int a ,int b)
{
  if(a<b) return gcd(b,a);
  if(b==0) return a ;
  return gcd(b,a%b);
}