JZOJ 4219 【五校联考2day1】池塘

前言

此题出现在2016.1.26日的比赛中。这是比赛的压轴第三道题。我因为有一种“每次都对压轴题有想法”的特点，于是比赛中就恶搞了一个四维DP，代码极其恶心。最后时间不够，此题以WA 0收场。

题目描述

从前有两个青蛙王国，两个王国商业都非常繁荣。但是一块池塘阻碍了两国的商业往来。一次，两只青蛙在池塘的两岸，他们都希望到对岸去。我们可以将池塘看做一个n×m的矩形，在每个格子里，可能会有荷叶。青蛙必须踩在荷叶上，不能跳进水里。如图青蛙可以向他前方的5个有荷叶的地方跳去。

于有的地方荷叶比较小，当一个青蛙从该荷叶上跳走之后，荷叶会沉入水底，两个青蛙也不能同时跳上这种荷叶。两个青蛙想知道有多少种方式使他们都到达对岸。第一个青蛙可以从第一行任何一个有荷叶的格子出发。第二个青蛙可以从最后一行任何一个有荷叶的格子出发。当第一个青蛙到达最后一行任何一个有荷叶的格子时，他就算到达了对岸。当第二个青蛙到达第一行任何一个有荷叶的格子时，他也算到达了对岸。请你帮助青蛙们计算有多少种方案可以让他们都到达对岸。
注：第一个青蛙只能向下跳，第二个青蛙只能向上跳。青蛙并不能跳出矩形区。

分析

这道题容易想到用一个四维的DP来做。设 f[i][j][k][l] 表示第一只青蛙跳到了 (i,j) ，第二只跳到了 (k,l) 的方案数。这里的转移很显然，枚举青蛙跳到哪个位置即可。注意每次转移只跳一只青蛙。
但是这样做很难判断那些经过只能走一次的荷叶的路径是否合法。而且没有很好的优化来降低时间复杂度。
不过，我们明确一点，两只青蛙从两岸分别跳到对岸等价于两只青蛙从同岸跳到对岸（证明显然）。这样，直接判断不合法情况就不会剩下一些难处理的情况（例如记录一只青蛙的路径再判断，这样显然很繁琐且不优），并且，如果两只青蛙的横坐标差值的绝对值大于3，则没有必要继续做（请读者自行证明）。
代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=55,mo=int(1e9)+7;
int map[N][N],f[N][N][N][N];
bool pd(int x,int y,int x1,int y1)
{
    return map[x][y] && !(x==x1 && y==y1 && map[x][y]==1);
}
int main()
{
    int n,m,ans=0;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    fo(i,1,n)
        fo(j,1,m)
            scanf("%d",&map[i][j]);
    fo(i,1,m)
        if(map[1][i])
            fo(j,1,m)
                if(map[1][j]) f[1][i][1][j]=1;
    fo(i,1,n)
      fo(j,1,m)
        if(map[i][j])
          fo(k,1,n)
            if(abs(i-k)<=3)
              fo(l,1,m)
                if(map[k][l] && !(i==k && j==l && map[i][j]==1))
                {
                    int x=f[i][j][k][l];
                    if(x)
                    {
                        if(i<k)
                        {
                            if(pd(i+3,j,k,l)) (f[i+3][j][k][l]+=x)%=mo;
                            if(pd(i+1,j-2,k,l)) (f[i+1][j-2][k][l]+=x)%=mo;
                            if(pd(i+1,j+2,k,l)) (f[i+1][j+2][k][l]+=x)%=mo;
                            if(pd(i+2,j-1,k,l)) (f[i+2][j-1][k][l]+=x)%=mo;
                            if(pd(i+2,j+1,k,l)) (f[i+2][j+1][k][l]+=x)%=mo;
                        }
                        else
                        {
                            if(pd(k+3,l,i,j)) (f[i][j][k+3][l]+=x)%=mo;
                            if(pd(k+1,l-2,i,j)) (f[i][j][k+1][l-2]+=x)%=mo;
                            if(pd(k+1,l+2,i,j)) (f[i][j][k+1][l+2]+=x)%=mo;
                            if(pd(k+2,l-1,i,j)) (f[i][j][k+2][l-1]+=x)%=mo;
                            if(pd(k+2,l+1,i,j)) (f[i][j][k+2][l+1]+=x)%=mo;
                        }
                    }
            }
    fo(i,1,m)
        if(f[n][i])
            fo(j,1,m)
                if(f[n][j]) (ans+=f[n][i][n][j])%=mo;
    printf("%d",ans);
}