3314 扩展gcd 及 扩展gcd的原理

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题目描述

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

输入

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

输出

 输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

示例输入

2 3

示例输出

2

提示

 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中

原理.

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在无数组整
数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
c++语言实现
    
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

求解 x，y的方法的理解
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

性质

ax+by=gcd;
ax+by=c;
c是gcd的整数倍时
(x0*c/gcd,y0*c/gcd);
不是整数倍时无整数解
ax+by=gcd;
其他一系列的解为(x0+kb`,y0-ka`);
a`=a/gcd(a,b);

b`=b/gcd;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<map>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	else
	{
	   int r=exgcd(b,a%b,x,y);
	   int t=x;
	   x=y;
	   y=t-(a/b)*y;
	   return r;
	}
}
int main()
{
	int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
    	int x,y,gcd;
		gcd = exgcd(n,m,x,y);
         <span id="transmark"></span>
            x=(x%m+m)%m;//求最小的非负数x
/*
       x = x*1/gcd;
        x = (x%(m/gcd)+(m/gcd))%(m/gcd);
    */
		printf("%d\n",x);
    }
}