概率与期望

概率公理:
满足下列3个条件的函数称为概率函数
(1) 0<=P(A)<=1
(2) P(S)=1
(3)如果 A1A2A3⋯ 是一系列两两无关的事件，即对于 ∀i≠j,Ai⋂Aj=∅ ,则

P(⋃k=1∞Ak)=∑k=1∞P(Ak)

(可列可加性)

条件概率：
令B为一个事件满足 P(A)>0 ,对于任一事件B,定义B的关于A的条件概率(事件A发生条件下，事件B发生的概率)

P(B|A)=P(A⋂B)P(A)

独立：
如果A,B满足 P(A⋂B)=P(A)P(B) ,称A,B独立
可以推出 P(A)=P(A|B)

全概率公式：<求结果概率>
设 B1B2B3⋯Bn 是样本空间S中互不相交的一系列事件，并且满足和为全集，即 S=⋃nk=1Bk ,且 P(Bi)>0 ,则对任意事件A有

P(A)=∑k=1nP(A|Bk)P(Bk)

特别的，对于任意两随机事件A和B，有

P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A¯¯¯)P(A¯¯¯)

贝叶斯定理：<求原因概率>

P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)∑nj=1P(Bj)P(A|Bj)

P(Bi) 叫先验概率， P(Bi|A) 叫后验概率

伯努利概型:(满足二项分布)
(1)在一组固定不变的条件下重复地做一种实验
(2)只有两种结果：事件发生或不发生
(3)每次实验中，相同事件发生的概率均一样
(4)各次实验结果相互独立
设 p 为每次实验 A 发生的概率， Pn(k) 表示n重伯努利实验中 A 出现 k (0 <= k <= n)的概率，则 Pn(k)=Cknpk(1−p)n−k

二项分布：
在上述条件下，设 X 为 n 次独立重复实验中成功出现的次数，X = (0,1,…n)，且它的概率函数为

σ=np(1−p)−−−−−−−−√P(X=x)=(nx)px(1−p)n−x

这个分布称为二项分布
期望: E(X)=np
方差: var(X)=np(1−p)
标准差: σ=np(1−p)−−−−−−−−√

几何分布：
事件 A 在第 k 次试验中才首次发生的概率为 p(1−p)k−1
有方程：

E(X)=p+(1−p)(E(X)+1)

期望: E(X)=1p
方差: var(X)=1−pp2

随机变量：
在样本空间 S 上的一个随机变量 X 是 S 上的一个取值为实数的函数。只取有限个或可数无穷多个值的随机变量称为离散随机变量。

数学期望：（均指离散型）
对于有限的离散型随机变量 X，假设 X 有概率分布 pj=P(X=xj) ,则称 E(X)=∑nj=1xjpj (要求绝对收敛)为 X 的数学期望，其中 n 为 X 不同取值的个数

方差：
var(X)=E(X−E(X))2

标准差：
σx=var(X)−−−−−−√

期望的线性性：
(1) E(c)=c
(2) E(cX)=cE(X)
(3) E(∑ni=1xi)=∑ni=1E(xi)
(4) E(XY)=E(x)E(Y) (充分条件：X、Y独立，充要条件：X、Y不相关)

方差的性质：
(1) var(c)=0
(2) var(aX+b)=a2var(X)
(3) var(X)=E(X2)−E2(X)
(4) var(X±Y)=var(X)+var(Y) (充分条件：X、Y独立，充要条件：X、Y不相关)

马尔科夫不等式：
假设X是只取非负数值的随机变量，对 ∀a>0 ,有

P(X>=a)<=E(X)a

切比雪夫不等式：
对任意随机变量X及任意a > 0,有

P(|X−E(X)|>=a)<=var(X)a2

==========题外话===========

看了一整天啊QAQ，还是什么都不会啊TAT

今天中午吃饭看见含爷了好开心~好开心~好开心~

一群大爷在切PE上的期望神题orz。。。