bzoj1492 货币兑换 CDQ分治

        CDQ分治。。用来解决不满足斜率优化条件的dp。

       首先,原题的Hint有一条就是要么全部买入,要么全部卖出。否则不最优。这是显然的。

       那么令f[i]表示第i天的最大获利,fx[i]表示在第i天最多拥有几张A券,fy[i]表示对应的B券,那么

       f[i]=max{fx[j]*a[i]+fy[j]*b[i]}。另外,有fy[i]=f[i]/(a[i]*rate[i]+b[i]) fx[i]=fy[i]*rate[i]。

       然后就可以用和斜率优化一样的方法啦,令fx[j]<fx[k]且k比j更优的条件为:

       fx[j]*a[i]+fy[j]*b[i]<fx[k]*a[i]+fy[k]*b[i],移项化简得:(fy[k]-fy[j])/(fx[k]-fx[j])>-a[i]/b[i]。令左边的为k(i,j),于是我们可以维护一个凸包使k单调递减。由于-a[i]/b[i]不具有单调性因此只能在凸包中进行二分查找。。但是维护凸包和二分查找需要用平衡树,不好写。

      然后就要用CDQ分治啦。。用solve(1,n)得出1..n中的f的值,那么我们可以首先调用solve(1,n/2)得到前半部分的值,然后维护前半部分的凸包,再用前半部分的值更新n/2+1...n的f的值。最后再调用solve(n/2+1,n)用后半部分的值更新后半部分的值。。。实际上是一种整体二分??

AC代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define eps 1e-10
#define N 100005
using namespace std;

struct node{ double a,b,x,y,k,r; int id; }p[N],q[N];
int n,h[N]; double dp[N];
bool cmp(node aa,node bb){ return aa.k>bb.k; }
double getk(int u,int v){
	if (!v) return -1e20;
	if (fabs(p[u].x-p[v].x)<eps) return 1e20;
	return (p[u].y-p[v].y)/(p[u].x-p[v].x);
}
void solve(int l,int r){
	if (l==r){
		dp[l]=max(dp[l],dp[l-1]);
		p[l].y=dp[l]/(p[l].a*p[l].r+p[l].b); p[l].x=p[l].y*p[l].r;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1,i,j=l,k=mid+1;
	for (i=l; i<=r; i++)
		if (p[i].id<=mid) q[j++]=p[i]; else q[k++]=p[i];
	for (i=l; i<=r; i++) p[i]=q[i];
	solve(l,mid); k=0; j=1;
	for (i=l; i<=mid; i++){
		while (k>1 && getk(h[k],i)+eps>getk(h[k-1],h[k])) k--;
		h[++k]=i;
	}
	h[++k]=0;
	for (i=mid+1; i<=r; i++){
		while (j<k && getk(h[j],h[j+1])+eps>p[i].k) j++;
		dp[p[i].id]=max(dp[p[i].id],p[h[j]].x*p[i].a+p[h[j]].y*p[i].b);
	}
	solve(mid+1,r); j=l; k=mid+1;
	for (i=l; i<=r; i++)
		if (j<=mid && (p[j].x<p[k].x || (fabs(p[j].x-p[k].x)<eps && p[j].y<p[k].y) || k>r))
			q[i]=p[j++]; else q[i]=p[k++];
	for (i=l; i<=r; i++) p[i]=q[i];
}
int main(){
	scanf("%d%lf",&n,&dp[0]); int i;
	for (i=1; i<=n; i++){
		scanf("%lf%lf%lf",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].r);
		p[i].k=-p[i].a/p[i].b; p[i].id=i;
	}
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	solve(1,n); printf("%.3f\n",dp[n]);
	return 0;
}

by lych
2016.2.16

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