Vijos P1133 装箱问题

描述

有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

格式

输入格式

第一行，一个整数，表示箱子容量；
第二行，一个整数，表示有n个物品；
接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。

输出格式

一个整数，表示箱子剩余空间。

分析

和之前一样，我们从决策入手，首先我们的决策和01背包一样，是当前物品是否放入，决策的策略是加入这件物品是否能让我们箱内的空间变的最小？为了更加清晰的定义出我们的策略，我们定义状态，该问题中我们的要素应该有两个，一个是序列i，还有一个是物品的体积v，从结论入手我们不难发现，我们需要定义的状态也应该是v，但是如果我们仅仅把要素v当作状态本身的话，那么我们在决策第i个物品是否放入的话，除了箱子剩下的体积已经放不下第i个物品时，其他情况只能的到“放入“这个唯一得结果，这明显是错误的，出现这样错误的原因时决策，是因为没有考虑到v这个要素（把它当做参数），综上我们的状态应该是一个把i和v当作参数，v当作本质的状态，我们定义状态f［i］［c］为前i个物品在空间为c时的最大体积，这样下来我们发现其实和01背包是完全一样的问题。

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//  main.cpp
//  装箱问题
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#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int f[500][200100];
int max(int a,int b)
{
    if(a>b) return a;
    else return b;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    //freopen("/Users/zhangjiatao/Desktop/input.txt","r",stdin);
    int v,n,w[500];
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i];
    }
    for(int j=1;j<=v;j++)
    {
        if(j<w[1]) f[1][j]=0;
        else f[1][j]=w[1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=0;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=v;j++)
        {
            if(w[i]<=j)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+w[i]);
            }
            else
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];
            }
        }
    }
    cout<<v-f[n][v];
//    for(int i=1;i<=n;i++)
//    {
//        for(int j=1;j<=v;j++)
//        {
//            cout<<f[i][j]<<" ";
//        }
//        cout<<endl;
//    }
    return 0;
}