第30章 多项式与快速傅里叶变换

这一章讲了多项式之间的乘法，但仅限于两个次数界相等并且为2的幂的多项式之间的乘法。运用了快速傅里叶变换及逆快速傅里叶变换算法。

递归的快速傅里叶变换代码：

void recursiveFFT(const vector<double>& coefficient,vector<Complex>& FFTResult)
{
        int length=coefficient.size();

        if(length==1){
                FFTResult[0]=Complex(coefficient[0],0);
                return;
        }

        if(length%2!=0)
                throw runtime_error("the number of the coefficient isn't power of 2!");

        vector<double> coefficient0(length/2);
        for(int i=0;i!=coefficient0.size();++i)
                coefficient0[i]=coefficient[2*i];//将具有偶数下标的系数赋值给数组coefficient0;
        vector<Complex> FFTResult0(length/2);
        recursiveFFT(coefficient0,FFTResult0);//求解数组coefficient0中存储系数的离散傅里叶变换;

        vector<double> coefficient1(length/2);
        for(int i=0;i!=coefficient1.size();++i)
                coefficient1[i]=coefficient[2*i+1];//将具有奇数下标的系数赋值给数组coefficient1;
        vector<Complex> FFTResult1(length/2);
        recursiveFFT(coefficient1,FFTResult1);//求解数组coefficient1中存储系数的离散傅里叶变换;

        const double pi=3.141592659;
        Complex w=Complex(1,0);
        Complex wn=Complex(cos(2*pi/length),sin(2*pi/length));

        for(int i=0;i!=length/2;++i)
        {
                Complex tmp=w*FFTResult1[i];
                FFTResult[i]=FFTResult0[i]+tmp;
                FFTResult[i+length/2]=FFTResult0[i]-tmp;

                w=w*wn;
        }
}

迭代的快速傅里叶变换：

void iterativeFFT(const vector<double>& coefficient,vector<Complex>& FFTResult)
{
        bitReverseCopy(coefficient,FFTResult);//把coefficient中的元素按照我们需要的顺序复制到数组FFTResult中；

        int length=coefficient.size();

        const double pi=3.141592659;
        for(int s=1;pow(2,s)<=length;++s)
        {
                int m=pow(2,s);
                Complex wm=Complex(cos(2*pi/m),sin(2*pi/m));

                for(int k=0;k<=length-1;k+=m)
                {
                        Complex w=Complex(1,0);
                        for(int j=0;j!=m/2;++j)
                        {
                                Complex tmp1=w*FFTResult[k+j+m/2];
                                Complex tmp2=FFTResult[k+j];
                                FFTResult[k+j]=tmp2+tmp1;
                                FFTResult[k+j+m/2]=tmp2-tmp1;

                                w=w*wm;
                        }
                }
        }
}

递归的逆快速傅里叶变化：

void recursiveInverseFFT(const vector<Complex>& FFTResult,vector<Complex>& result)
{
        int length=FFTResult.size();

        if(length==1){
                result[0]=FFTResult[0];
                return;
        }

        vector<Complex> FFTResult0(length/2);
        for(int i=0;i!=FFTResult0.size();++i)
                FFTResult0[i]=FFTResult[2*i]; //将FFTResult数组中具有偶数下标的系数赋值给数组FFTResult0;
        vector<Complex> result0(length/2);
        recursiveInverseFFT(FFTResult0,result0);//求解FFTResult0数组中存储值的逆傅里叶变换;

        vector<Complex> FFTResult1(length/2);
        for(int i=0;i!=FFTResult1.size();++i)
                FFTResult1[i]=FFTResult[2*i+1];
        vector<Complex> result1(length/2);
        recursiveInverseFFT(FFTResult1,result1);

        const double pi=3.141592659;
        Complex w=Complex(1,0);
        Complex wn=Complex(cos(2*pi/length),-sin(2*pi/length));

        for(int i=0;i!=length/2;++i)
        {
                Complex tmp=w*result1[i];
                result[i]=result0[i]+tmp;
                result[i+length/2]=result0[i]-tmp;

                w=w*wn;
        }
}

迭代的逆快速傅里叶变换：

void iterativeInverseFFT(const vector<Complex>& FFTResult,vector<Complex>& result)
{
        bitReverseCopy(FFTResult,result);//把FFTResult中的元素按照我们需要的顺序复制到数组result中；

        int length=FFTResult.size();

        const double pi=3.141592659;
        for(int s=1;pow(2,s)<=length;++s)
        {
                int m=pow(2,s);
                Complex wm=Complex(cos(2*pi/m),-sin(2*pi/m));

                for(int k=0;k<=length-1;k+=m)
                {
                        Complex w=Complex(1,0);
                        for(int j=0;j!=m/2;++j)
                        {
                                Complex tmp1=w*result[k+j+m/2];
                                Complex tmp2=result[k+j];
                                result[k+j]=tmp2+tmp1;
                                result[k+j+m/2]=tmp2-tmp1;

                                w=w*wm;
                        }
                }
        }
}

最终的逆傅里叶变换代码：

void inverseFFT(const vector<Complex>& FFTResult,vector<Complex>& result)
{
// recursiveInverseFFT(FFTResult,result);
        iterativeInverseFFT(FFTResult,result);

        for(int i=0;i!=result.size();++i)
        {
                result[i].real=result[i].real/result.size();
                result[i].imaginary=result[i].imaginary/result.size();
        }
}

最终的多项式之间的乘法代码：

//数组a1和a2的大小应为2的幂，同时应相等；
void convolution(vector<double>& a1,vector<double>& a2,vector<Complex>& convoResult)
{
        a1.resize(2*a1.size());
        vector<Complex> FFTResult1(a1.size()); //存储的是数组a1元素所对应的离散傅里叶变换结果;
// recursiveFFT(a1,FFTResult1);
        iterativeFFT(a1,FFTResult1);

        a2.resize(2*a2.size());
        vector<Complex> FFTResult2(a2.size());//存储的是数组a2元素所对应的离散傅里叶变换结果；
// recursiveFFT(a2,FFTResult2);
        iterativeFFT(a2,FFTResult2);

        for(int i=0;i!=a1.size();++i)
                FFTResult1[i]=FFTResult1[i]*FFTResult2[i]; //将FFTResult1与FFTResult2中的元素分别相乘，存入到FFTResul1中；

        convoResult.resize(a1.size());
        inverseFFT(FFTResult1,convoResult);
}