POJ3621 Sightseeing Cows

题意：给定一个n(2 <= n <= 1000)个点，m(2 <= m <= 5000)条边的有向图，给定每个点的点值f(i)和每条边的权值w(i)，求一个环使得路径上点权和除以边权和最大。

简单来说就是最优比率生成环。

分析：

这是一道0/1分数规划的题，我们记最优解为ans，则对于所有环ans >= ∑f(i) / ∑w(i)，变形得ans * ∑w(i) - ∑f(i) >= 0，∑(ans * w(i)) - ∑f(i) >= 0，∑(ans * w(i) - f(i)) >= 0.

我们采用二分答案的方法，设二分的值为k.

之后构建一个新图，边权值为k * w(i) - 入点/出点f(i)，如果k < ans，则存在至少一个负环，k >= ans，则无负环，用SPFA判负环即可，需要注意的是源点不要从1开始（虽然这道题数据水从1开始也能过），因为环可能和1不连通。

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

bool inq[1005];
int n, m, e, x[5005], y[5005], z[5005], f[1005], hd[1005], cnt[1005];
double d[1005];

struct Edge {
	int to, nxt;
	double w;
}edge[5005];

void add(int x, int y, double z) {
	edge[++e].to = y;
	edge[e].w = z;
	edge[e].nxt = hd[x];
	hd[x] = e;
}

bool spfa() {
	queue<int> q;
	for(int i = 1; i <= n; i++) q.push(i), d[i] = 0, inq[i] = 1;
	memset(cnt, 0, sizeof cnt);
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front(); q.pop();
		inq[u] = 0;
		for(int i = hd[u]; i; i = edge[i].nxt) {
			Edge &v = edge[i];
			if(d[v.to] > d[u] + v.w) {
				d[v.to] = d[u] + v.w;
				if(++cnt[v.to] > n) return true;
				if(!inq[v.to]) q.push(v.to), inq[v.to] = 1;
			}
		}
	}
	return false;
}

bool ok(double ans) {
	e = 0;
	memset(hd, 0, sizeof hd);
	for(int i = 1; i <= m; i++) add(x[i], y[i], ans * z[i] - f[x[i]]);
	return spfa();
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &f[i]);
	for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &x[i], &y[i], &z[i]);
	double l = 0, r = 1000;
	while(r - l > 1e-4) {
		double mid = (l+r) / 2;
		if(ok(mid)) l = mid;
		else r = mid;
	}
	printf("%.2f", l);
	return 0;
}