51nod 1086 背包问题V2(巧妙拆分多重背包)

1086 背包问题 V2

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40  难度：4级算法题

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有N种物品，每种物品的数量为C1，C2......Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里，每种物品的体积为W1，W2......Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2......Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

Input

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)

Output

输出可以容纳的最大价值。

Input示例

3 6
2 2 5
3 3 8
1 4 1

Output示例

9

题解： 这里可以用多重背包拆成01背包求解的思想，不过在拆的时候不能将Cn拆成1+1+1+1+1+1.....+1的形式。这么做会超时。

应该将Cn拆成 Cn=1+2+4+8+...+(Cn-sum)。  

这里sum表示前面的数字之和，例如 按照规律加到第m个数，发现已经大于Cn，那么sum就表示从 1+2+4+8+.....+ 2^(m-2)。  

 我们可以检验， 在[1,Cn]中任意的数 我们都可以在这个序列中找到若干数相加得到。
拆分结束后我们就可以按照01背包求解。  dp[j]=max(dp[j],dp[j-cos[i]]+val[i]) 。

时间复杂度为 O(W*sigma(logCi)) 

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[50010];
int cos[20010],val[20010];
int main()
{
	int n,w,wi,pi,ci;
	while(scanf("%d%d",&n,&w)!=EOF)
	{
		int k=0,i,j;
		while(n--)
		{
			scanf("%d%d%d",&wi,&pi,&ci);
			int cnt=1;
			while(ci)
			{
				if(ci>=cnt)
				{
					cos[k]=cnt*wi;
					val[k]=cnt*pi;
					k++;
					ci-=cnt;
					cnt*=2;
				}
				else
				{
					cos[k]=ci*wi;
					val[k]=ci*pi;
					k++;
					ci=0;
				}
			}
		}
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(i=0;i<k;++i)
		{
			for(j=w;j>=cos[i];--j)
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-cos[i]]+val[i]);
		}
		printf("%d\n",dp[w]);
	}
	return 0;
}