N把钥匙开门的概率问题

在一冒险游戏里，你见到一个宝箱，身上有N把钥匙，其中一把可以打开宝箱，假如没有任何提示，随机尝试，问：

（1）恰好第K次（1=<K<=N）打开宝箱的概率是多少。

（2）平均需要尝试多少次。

解：

（1）方法一：(N-1)!/N!=1/N

           方法二：分次计算，第一次尝试概率P1=(N-1)/N

                                               第二次尝试概率P2=(N-2)/(N-1)

                                                ...

                                               第K-1次尝试概率PK-1=[N-(K-1)]/[N-(K-2)]

                                                第K次打开概率PK=1/[N-(K-1)]

                           恰好第K次（1=<K<=N）打开宝箱的概率=P1*P2*...*PK=1/N

           方法三：看出抽签问题此答案的原链接http://blog.csdn.net/fengbingyang/article/details/12118401

首先，看一下抽签问题：

N只签里面有一只好签，N个人按照排定的顺序从中各抽一张，抽签顺序有先后，这样对每个人都公平吗？也即每个人抽到好签的概率相对吗？

解：第i(1=<i<=N)个人抽到好签的概率 pi = A(i-1,N-1)/A(i,N) = 1/N。

结果显示每个人抽到好签的概率是相等的。

把上述抽签问题的描述改动一下：

N只签里面有一只好签，N个人按照排定的顺序从中有放回的各抽一张，直到有人抽中好签为止，抽签顺序有先后，这样对每个人都公平吗？也即每个人抽到好签的概率相对吗？

解：第i(1=<i<=N)个人抽到好签的概率 pi = ((1-1/N)^(i-1))*(1/N) = (((N-1)/N)^(i-1))*(1/N)。

结果显示每个人抽到好签的概率是不相等的。（该题目实际上符合概率中的几何分布）

通过抽签问题的求解发现，导致不同概率结果的原因在于是否是有放回的操作。

对于钥匙开门这个问题，如果已经尝试过的不正确钥匙在下一次开门尝试中不被考虑，那么这就是一个无放回的抽签(抽奖)问题，结果应该是1/N;否则结果就是(((N-1)/N)^(K-1))*(1/N)。

（2）

第I次打开                  1                2           ...            N          

第I次打开的概率        I/N              I/N          I/N          1/N

e=1/N*(1+2+...+N)=(N+1)/2