[置顶] FFT (Fast Fourier Transform) 与 DFT (Discrete Fourier Transform)

   FFT 是一种如雷贯耳的快速算法，应用范围及其广泛，就不多说了。不过 DFT 很多人并不是很清楚，只知道 DFT 比 FFT 效率低，速度慢。实际上，在很多应用场合下，DFT 反而会比 FFT 效率高很多。

    首先，回顾一下复数的特性：

         V = R + jI = M*(R/M + j I/M) = M*(cos(A) + j sin(A)) = M*exp(j A)                       (1)

         wher R is the real and I is the image, M = sqrt(R*R + I*I) and A=arctan2(R, I) is the angle.

 

DFT/FFT 首要的任务是确定系统的基频（ Fundamental Frequency), 这样就能确定系统一个周期的采样点数。基频在同一个系统中可根据需要而采用不同的值。现在假设系统的采样时间为 Ts,   周期采样点数  N  ( 对于 FFT,  一般要求 N = 2*M = 2^L, DFT 则无此要求）， 则第 H  次谐波的  DFT 的计算公式可以从基本的 Fourier 积分公式中得出：

        V(k) = sum (x(k - n) * exp( j 2* n *PI *  H /N) *2/N)                                            (2)

 

这里，  n = 0 to N-1, sum  是 N  项之和 , 也就是一个周波 (cycle) 的数据乘积之和 。

累加一般可以化成迭代形式，公式 (2) 的迭代形式：

        V(k) = V(k-1) + (x(k) - x(k-N)) * exp(j 2*k*PI * H/N) * 2/N                                      (3)

 

展开形式：

       V_R(k) = V_R(k-1) +  (x(k) - x(k-N)) * cos(2*k*PI * H/N) * 2/N      

        V_I(k) = V_I(k-1) +  (x(k) - x(k-N)) * sin(2*k*PI * H/N) * 2/N                                  (4)

 

 

通过公式 （ 2 ）可以得出 :

     H = 0, DC offset: V(k) = (x(k) + x(k-1) + … + x(k-N-1) ) * 2/N

     H = 1, 基波： V(k) = (x(k-1) * exp(j 2 * PI /N)  + … + x(k-N-1) * exp(j 2* (N-1)* PI/N) * 2/N

     ….

     H = N/2: ( 省略 )

 

 

从上面的公式可以看出，如果要计算所有的谐波，必须要计算

        exp(j 2*n * PI *H /N) = cos(2*n*PI*H/N) + j sin(2*n*PI*H/N)                                (5)

        where n = 0 to N-1 ， H = 0 to N/2

 

公式（ 5 ）有一定的规律，因为 cos, sin 是周期性的，也就是说总共 2* N* N/2 ( 不算 DC) 个系数中有大量的重复 , 最终都可以归结成 2* N 个系数：

     exp(j 2*n * PI *  /N) = cos(2*n*PI*/N) + j sin(2*n*PI*/N)                                        (6)

     where n = 0 to N-1   

 

FFT 通过巧妙的安排，仅使用 (6) 中 2* N 个系数   ( 考虑到 cos(2PI*n/N) = sin(2PI*(n+N/4)/N) , 可进一步减少到 N) ， 可以排除大量的冗余计算，从而提高速度，有人做过测算，当 N 在 8 以上， DFT 开始超过 FFT ， N/2+1 次 DFT 计算量随 N 呈指数形式上升 , 而 FFT 仅呈线性上升。关于 FFT 的蝶形计算，到处都是，这里就不说了。

现在来看看 FFT 的结果，把 N = 2M = 2^L 个数据通过 FFT 或 N/2+1 次 DFT 分解后得到 N/2+1 个复数：

           F = [DC, V(1), V(2), …., V(M) ]

 

 

序列 F 中的每一个 V 可以用公式 （ 1 ）求出幅度和相位，也就是说，得到了频谱 , 而这个频谱可由 FFT 算法一次得到，而 DFT 分别做 N/2 +1 次。

 

如果我们的应用不是得到全部的频谱，比如音响的图示均衡器，仅仅需要某几个频点的幅值，又或者对于一个电力系统，仅关心 50Hz 基波 , 2, 3, 5 次谐波，这时候 FFT 中的 10 次或者 20 次谐波就显得多余了。那么，我们可以做几次 DFT, 例如 4 次，求得几个关键的谐波，这时的运算量反而少于 FFT. 更重要的是对于实时采样系统，使用迭代的 DFT 公式 (3), 可以在定时采样后立刻迭代计算几个关键的谐波，分散计算强度，让 DFT 的运算量更低。

 

另一个重要的概念是 DFT/FFT 的 基频（ Fundamental Frequency),   假设采样频率为 fs, 采样点数为 N, 那么 基频 :

         f0 = fs / N

 

举个例子，电力电压采样频率为 800 Hz, 如果选用 N = 16,  那么基频就是 50Hz, 意味着经过 FFT/DFT 后，复数 V(1) 就是 50Hz 电压信号的矢量。现在看另一种实际应用，发电机定子接地保护中的 20 Hz 谐波注入 (Low Frequency Signal Injection), 当 20 Hz 信号被注入到零线 (Neutral), 如果依旧使用 50 基频 , 那么计算出的 50Hz 电压以及 150Hz 的三次谐波会受到 20Hz 信号的干扰，因为 50 基频无法排除 20 Hz 信号。这时我们可以使用 10 Hz 基频 , 也就是同样的 800Hz 采样频率 , 但 N = 5*16 = 80, 通过 3 次 DFT 可以得出 2 次谐波 (20Hz) , 5 次谐波 (50Hz) 以及 15 次谐波 (150Hz) 的正确 幅值 。