bzoj 1491 1491: [NOI2007]社交网络 最短路

Description

在社交网络（socialnetwork）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。

在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，

两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人

之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路

径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过

统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点A和B之间可能会有

多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s

到t的最短路的数目；则定义

为结点v在社交网络中的重要程度。为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图

，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每

一个结点的重要程度。

Input

输入第一行有两个整数n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号

。接下来m行，每行用三个整数a，b，c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有

一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。n≤100；m≤4500 

，任意一条边的权值 c 是正整数，满足：1≤c≤1000。所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间

的最短路径数目不超过 10^10

Output

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

Sample Input

4 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 1

Sample Output

1.000
1.000
1.000
1.000

HINT

社交网络如下图所示。

对于 1 号结点而言，只有 2 号到 4 号结点和 4 号到 2 号结点的最短路经过 1 号结点，而 2 号结点和 4 号结

点之间的最短路又有 2 条。因而根据定义，1 号结点的重要程度计算为 1/2 + 1/2 = 1 。由于图的对称性，其他

三个结点的重要程度也都是 1 。

分析：首先用floyd统计出任意两点间x,y的最短路径a[x,y]。

然后我们要统计出任意两点间x,y的最短路径数f[x,y]。我用的方法是跑了n次dijkstra，每次统计出一个点到其他点的对短路径数。具体就是每次找到一个与起点s距离最小的点u，然后遍历与该点相连的所有的边（注意一定是读入的边），若某个点x满足a[s,u]+w[u,x]=a[s,x]也就是该边是某条s到x的对短路的边，那么f[s,x]:=f[s,x]+f[s,u]

然后就是统计答案了。

对于一个点k，若满足a[i,k]+a[k,j]=a[i,j]也就是k是i到j某条最短路上的点，那么点k经过i和j的最短路径的条数就是f[i,k]*f[k,j]

PS.好久没有像这样一次AC过了！！！>_<

代码：

const
  maxn=100;
  maxm=4500;

var
  f,a:array[1..maxn,1..maxn] of int64;
  side:array[1..maxm*2] of record
    x,y,z,next:longint;
  end;
  v:array[1..maxn] of boolean;
  last:array[1..maxn] of longint;
  e,n,m:longint;
  ans:array[1..maxn] of real;

procedure add(x,y,z:longint);
begin
  inc(e);
  side[e].x:=x; side[e].y:=y; side[e].z:=z;
  side[e].next:=last[x]; last[x]:=e;
  inc(e);
  side[e].x:=y; side[e].y:=x; side[e].z:=z;
  side[e].next:=last[y]; last[y]:=e;
end;

procedure init;
var
  i,x,y,z,j:longint;
begin
  readln(n,m);
  for i:=1 to n do
    for j:=1 to n do
      a[i,j]:=1 shl 40;
  for i:=1 to n do
    a[i,i]:=0;
  for i:=1 to m do
  begin
    readln(x,y,z);
    add(x,y,z);
    a[x,y]:=z;
    a[y,x]:=z;
  end;
end;

procedure floyd;
var
  i,j,k:longint;
begin
  for k:=1 to n do
    for i:=1 to n do
      for j:=1 to n do
        if a[i,k]+a[k,j]<a[i,j] then
          a[i,j]:=a[i,k]+a[k,j];
end;

procedure dijkstra(s:longint);
var
  min,u,i:longint;
begin
  f[s,s]:=1;
  fillchar(v,sizeof(v),true);
  repeat
    u:=0;
    min:=maxlongint;
    for i:=1 to n do
      if (v[i])and(a[s,i]<min) then
      begin
        min:=a[s,i];
        u:=i;
      end;
    if u>0 then
    begin
      v[u]:=false;
      i:=last[u];
      while i>0 do
        with side[i] do
        begin
          if (v[y])and(a[s,x]+z=a[s,y]) then
            f[s,y]:=f[s,y]+f[s,x];
          i:=next;
        end;
    end;
  until u=0;
end;

procedure count;
var
  i,j,k:longint;
begin
  fillchar(ans,sizeof(ans),0);
  for k:=1 to n do
    for i:=1 to n do
      for j:=1 to n do
        if (f[i,j]>0)and(i<>k)and(j<>k)and(i<>j)and(a[i,k]+a[k,j]=a[i,j]) then
          ans[k]:=ans[k]+f[i,k]*f[k,j]/f[i,j];
  for i:=1 to n do
    writeln(ans[i]:0:3);
end;

procedure main;
var
  i:longint;
begin
  floyd;
  for i:=1 to n do
    dijkstra(i);
  count;
end;

begin
  init;
  main;
end.