《计算机算法设计与分析》第二版 王晓东 “最大m字段和优化函数”——P57注释

 

之所以想到要注释一下，没别的意思，只是因为几个月前刚学DP，完全看不懂，前几天费了几个小时终于看懂了，注释下来，能使自己整理一下思路，也作为自己的一篇日记。

当时我能看懂时间和空间均为O(MN^2)的函数，但可能由于自己看书是直接从动态规划一章看起，书上对于经过优化的函数也没有更多的解析，当时看起来完全不知所云。前几天看的时候，是对着方程结合书上的几句话自己去理解，尝试自己动手去写，但错了。看书上代码，都要自己去理解那些变量数组是干什么用的，感觉也是非常吃力。

1，

我觉得理解那个优化函数，必须先要充分理解那个二维的DP方程：

b[i][j]=max(b[i][j-1]+a[j],max(b[i-1][t])+a[j])  (i-1<=t<j)

b[i][j]表示的是第i段在前j项（含第j项）的最大值。对于b[i][j]含有第j项必须要理解好！则方程的意思是：对于a[j]项，要么将它加到第i段，要么它自己作为新的一段。

注意到方程外层的max选择，都要加上a[j]这一项。这里可能很容易产生一个疑问，如果a[j]是一个负数，为什么还要加上a[j]呢？回到b[i][j]所表示的意义上解释，由于b[i][j]表示的是含有第j项的最大值，所以a[j]是肯定要加进来的。假使a[j]是一个负数，它加进来了也不会影响在第i段中前j-1项的最大值。

所以第m段的最大值，并不是b[m][n]，而是b[m][m~n]之间的最大值。

同样道理，第i-1段的最大值是b[i-1][t],(i-i<=t<j)。

2，

理解了上述的DP方程后，再来考虑优化，正如书上所说的，由于在第i段中，只用到第i段和第i-1段的值。如果采用一维数组存储b[]，只要在计算第i段的时候，没有去改变第i-1段保留下来的值即可。再考虑到，内层max选择，需要用到第i-1段在i-1到j-1位置的最大值，不但要进行重复计算，也影响到b[j]的计算，因为j前面的值既要用作b[j]的计算，也要更新作为下一段i+1计算时所用。

为了解决这个问题，书上是利用了一个辅助的一维数组c[]，c[j]保存的是上一段i-1在j位置的最大值。显然计算第i段在j位置的值b[j]要用到的c[]的下标是从i-1到j-1的。

那么这时DP方程可以变为：

b[j]=max(b[j-1]+a[j],c[j-1]+a[j])

要注意，b[j-1]与c[j-1]是相差一段的，即b[j-1]计算的是第i段的值，而c[j-1]记录的是i-1段的值。

这里有一个关键是对c[]在计算第i段值b[j]的时候，要及时更新，以作计算下一段使用。

3，

以上的具体实现自己写不出来，还是照看书上的代码，略作解析。其实明白了上面说明的两段，书上代码是很好理解的。书上对于边界条件的处理，我觉得做得非常好，而我也正是错在这个地方。

int  MaxSum( int  m, int  n, int   * a)
{
     if (n < m || m < 1 )     return   0 ;
     int   * b = new   int [n + 1 ];     // b[j]保存的是第i段中在前j（含j）项的最大值
     int   * c = new   int [n + 1 ];     // c[j]保存的是i-1段中在i-1到j（含j）项中的最大值
                             // 注意，以上b[j]和c[j]都是指在计算第i段时的值；
    b[ 0 ] = 0 ;
    c[ 1 ] = 0 ;                  // 第0段时的两个值，初始化边界条件 
     for ( int  i = 1 ;i <= m;i ++ )    // i为当前计算段数 
    {
        b[i] = b[i - 1 ] + a[i];     // b[i]即b[j]在j=i时的值，由于j=i，每一个项都要成为一段，这就是边界条件
        c[i - 1 ] = b[i];         // 这里很绕，其实这句是没用的，因为在第i段中数组c[]保存的值是为下一
                             // 段i+1服务的，i+1段只用到c[i]，可以直接删掉，免得误导                        
         int  max = b[i];         // max记录第i段的从i位置开始所有能用到的项的最大值
         for ( int  j = i + 1 ;j <= i + n - m;j ++ )
        {
            b[j] = b[j - 1 ] > c[j - 1 ] ? b[j - 1 ] + a[j]:c[j - 1 ] + a[j]; // 这里用到的c[j-1]
                                                       // 是没被修改的，还是上一段i-1中在j-1位置的最大值
            c[j - 1 ] = max;             // 用完后就要修改为第i段中在j-1位置的最大值，明显，max是记录了第i段中的
             if (max < b[j])         // 在j-1位置的最大值，尽管当前循环中计算的是第j项
                max = b[j];         // 更新max的值
        }
        c[i + n - m] = max;     // 由于max记录的项总比循环的j项小1，所以第i段在最后一项中的最大值放在循环外更新
    }

     int  sum = 0 ;         // 默认全是负数的时候，最大值是0,如果要计算负的最大值，可以将sum设为一个大负数
     for ( int  j = m;j <= n;j ++ )     // 为什么还有一次循环找最大值，而不是直接使用b[n]呢？因为b[j]包含了a[j]，
         if (sum < b[j])         // 在b[j]的值不一定比不包含a[j]的其他项大。
            sum = b[j];
     return  sum;
}

附：pku 2479就是一题求最大2段和。