Harmonic Number 调和级数

今天做了一道关于调和级数的题目,之前接触有关级数的“神马”还是在高数上,当时只是研究了调和级数的发散还是收敛等关系,10^8那么大的数据正常跑肯定会超时不是,一直都不知道对于这个伟大的级数来说,还有一个计算它的公式,浅尝辄止了,不该,不该。。。今天特地去问了度娘,公式是能用,但是对于这个题目的数据来说,还是需要一点小技巧的,具体分析如下:

Harmonic Number :http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=109329#problem/D

为了更方便看(还有后来者的搜索,(*^__^*) 嘻嘻……),我还是把题面粘上吧!


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Description
In mathematics, the nth harmonic number is the sum of the reciprocals of the first n natural numbers:


In this problem, you are given n, you have to find Hn.

Input
Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 108).

Output
For each case, print the case number and the nth harmonic number. Errors less than 10-8 will be ignored.

Sample Input
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
90000000
99999999
100000000
Sample Output
Case 1: 1
Case 2: 1.5
Case 3: 1.8333333333
Case 4: 2.0833333333
Case 5: 2.2833333333
Case 6: 2.450
Case 7: 2.5928571429
Case 8: 2.7178571429
Case 9: 2.8289682540
Case 10: 18.8925358988
Case 11: 18.9978964039
Case 12: 18.9978964139 


题目不难,先看数据,1.虽然输出五花八门,但是不用管它,精度能保证在10 ^-8就没问题,直接用%.10lf 即可;2. n的范围是10^8,肯定不能正常跑,但是我们有公式,不怕,前面10000个可以正常打表,后面的我们就用公式,再说了,这个公式能成立,本来就是在n比较大的时候,公式如下:  r为常数,r=0.57721566490153286060651209(r就是欧拉常数)。

特别注意,由于题目要求精度为10^-8,常数r也是前人推导出来的,然而也只推导了有限位数,所以正常利用这个公式,并不能达到精度要求,我们只好比较样例和我们自己输出的数据,增添一些可行的项,经尝试,在原公式的基础上,再减去一个1.0/(2*n)恰好可以满足精度,也算是投机取巧了。实现代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;
#define R 0.57721566490153286060651209

double ans[10010];
int main()
{
    int t,n,casenum=0;
    double sum;
    ans[1]=1;
    for(int i=2; i<=10000; i++)
    {
        ans[i]=ans[i-1]+1.0/i;
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n<=10000)
        {
            printf("Case %d: ",++casenum);
            printf("%.10lf\n",ans[n]);
        }
        else
        {
            sum=log(n+1)+R-1.0/(2*n);
            printf("Case %d: ",++casenum);
            printf("%.10lf\n",sum);
        }
    }
    return 0;
}

思维逆转,让我们用另一种思路再去看这个题目。

其实,如果只靠打表,而且是有技术含量的打表,也能很好的解决这个问题,既然10^8的表我们打不出来,但是200万的表我们还是能打的,这样一来,我们先平均分而且间隔着,每50个记录一个,先把分布在10^8数据中的值放在表里,真正计算时,我们便先找到距离我们的n最近的且小于n的在表中存过数据的一个数,然后再在这个数的基础上递推这往下算,这样一来,便大大降低了时间复杂度,太啰嗦了,还是看代码吧!

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
#define MAX 100000000

double ans[2000100];
int main()
{
    int t,n,k;
    int casenum;
    casenum=0;
    double sum=0.0;
    k=0;
    ans[0]=0;
    for(int i=1;i<=MAX;i++)
    {
        sum+=1.0/i;
        if(i%50==0)
        {
            ans[++k]=sum;
        }
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int yushu=n%50;
        int num=n/50;
        double s;
        s=ans[num];
        for(int i=50*num+1;i<=n;i++)
        {
            s+=1.0/i;
        }
        printf("Case %d: %.10lf\n",++casenum,s);
    }
    return 0;
}




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