poj1061欧几里德算法

有三个算法：一是著名很简单的gcd算法

其关键在于证明gcd(a, b) == gcd(b, a mod b)

利用整除性来证明，即gcd(a , b) 整除 gcd(b, a mod b)，而gcd(b, a mod b)整除gcd(a ,b)

设d = gcd(a , b)，a mod b = a - (a / b ) * b，所以d可以整除a mod b, d可以整除b,所以d可以整除b和a mod b 的各种线性组合。而gcd(b, a mod b)是b 和a mod b 的最小线性组合。所以d可以整除gcd(b, a mod b)。同理也可以证明gcd(b, a mod b) 整除 gcd(a , b)

二是求解线性方程ax + by = gcd(a ,b)；

采用的是递归的思路，因为gcd(a ,b ) = gcd (b, a mod b)

所以解出了gcd(b, a mod b) = bx_0 + (a mod b)y_0;的话

那么gcd(a, b) = bx_0 + (a - (a / b) * b) y_0;

所以gcd(a, b) = ay_0 + (x_0 - (a / b ) * y_0);

代码：

/**
 *DESCRIPTION:The implement of gcd(a ,b) and ax + by = gcd(a , b)
 *using the equation gcd(a ,b) = gcd(b, a mod b)
 *gcd(a, 0) = a
 */

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    else {
        return gcd(b, a % b);
    }
}

void extended_gcd(long long a, long long b, long long &gcd_d, long long &x, long long &y) {
    if (b == 0) {
        gcd_d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else {
        extended_gcd(b, a % b, gcd_d, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
}

三：求解同余模方程

ax == b (mod n)

算法导论上有详细解释

有两个定理：

（一）：如果方程有解的话必定有gcd(a, n) | b

（二）：如果方程有解的话有n / (gcd(a, n))个解

其中最小正数解为(x0 + n) % (n / d)   (d == gcd(a , n));

其中a, b是否为负数没有影响。

poj1061:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

void extended_eculid(long long a, long long b, long long &gcd_d, long long &x, long long &y) {
    if (b == 0) {
        gcd_d = a;
        x = 1;
        y= 0;
    }
    else {
        extended_eculid(b, a % b, gcd_d, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
}

int main() {

    long long x, y, m, n, L;
    long long a, b, gcd_d, x_0, y_0, ans;
    while (scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L) != EOF) {
        a = m - n;
        b = y - x;
        /*        if (a < 0) {
            a = -a;
            b = -b;
            }*/
        extended_eculid(a, L, gcd_d, x_0, y_0);
        if ((b % gcd_d) != 0) {
            cout << "Impossible" << endl;
        }
        else {
            ans = (x_0 * b / gcd_d) % L;
            ans = (ans + L) % (L / gcd_d);
            if (ans == 0) {
                ans += L;
            }
            cout << ans << endl;
        }
    }
    return 0;
}

其中注意ans = 0的时候要输出长度L！～