1236 - Pairs Forming LCM (唯一分解定理加组合数学)

一、题目链接：传送门

二、题解：　<1> 先对ｎ进行素因子分解，时间复杂度近似sqrt(n) / k，k为一个常数。

                      <2> 假设 n = a1^p1 * a2 ^ p2 * a3 ^ p3 * ... * an ^ pn。 (ai为素因子,pi为素因子的指数)

                      <3> 假设Lcm(a,b) = n,则对于每一个素因子ai,a中的pi，与b中的pi，至少有一个为ai的指数。

　　　　　　<4> 所以对于ｎ中的每一个素因子的指数c，我们都可以分解成一对(a,b),且max(a,b) = c,这样的分法有2 * c + 1中，

　　　　　　　　对于其它的素因子同理，因为Lcm对是有序的，所以最后的结果要除以２，再加１，因为(n,n)我们只算了一次。

三、AC代码如下：

/* ***********************************************
Author        :xdlove
Created Time  :2015年09月03日 星期四 13时02分46秒
File Name     :a.cpp
 ************************************************ */

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <memory.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e7;
bool check[MAXN + 2];
int prime[700000];
int e[700000];

void getprime()
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    for(int i = 2; i <= MAXN; i++)
    {
        if(!check[i]) prime[++prime[0]] = i;
        for(int j = 1; j <= prime[0]; j++)
        {
            if(prime[j] > MAXN / i) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //srand(time(NULL));
    getprime();
    int T,cnt = 0;
    ll n;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        memset(e,0,sizeof(e));
        for(int i = 1; i <= prime[0]; i++)
        {
            if(prime[i] > n / prime[i]) break;
            while(n % prime[i] == 0)
            {
                e[i]++;
                n /= prime[i];
            }
            if(n == 1) break;
        }
        ll ans = 1;
        for(int i = 1; i <= prime[0]; i++)
            if(e[i]) ans *= 2 * e[i] + 1;
        if(n != 1) ans *= 3;
        printf("Case %d: %lld\n",++cnt,ans/2 + 1);
    }
    return 0;
}