Bellman-Ford 算法及其优化

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Bellman-Ford 算法及其优化

Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样，用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外，还可以解决存在负权边的问题（意义是什么，好好思考），而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题，因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 O（VE）,比Dijkstra算法的时间复杂度高，所以常常被众多的大学算法教科书所忽略，就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法，在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及，因此该算法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra算法。事实上，有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升，例如近一两年被热捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法）算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法，因此成为信息学奥赛选手经常讨论的话题。然而，限于资料匮乏，有关Bellman-Ford算法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如：该算法值得掌握么？怎样用编程语言具体实现？有哪些优化？与SPFA算法有关系么？本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。给出几种实现程序，从理论和实测两方面分析他们的时间复杂度，供大家在备战省选和后续的noi时参考。

Bellman-Ford算法思想

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：

（1）    初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

（2）    迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

（3）    检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //图G ，边集 函数 w ，s为源点

1        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1阶段

2            d[v] ←+∞

3        d[s] ←0;                             //1阶段结束

4        for i=1 to |v|-1 do               //2阶段开始，双重循环。

5           for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。

6              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断

7                 d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作   2阶段结束

8        for each edge（u,v） ∈E(G) do

9            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then

10            Exit false

11    Exit true

下面给出描述性证明：

   首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

   其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

 优化

1、使用标志优化：

算法的优化

分析 Bellman-Ford算法，不难看出，外层循环（迭代次数）|v|-1实际上取得是上限。由上面对算法正确性的证明可知，需要的迭代遍数等于最短路径树的高度。如果不存在负权回路，平均情况下的最短路径树的高度应该远远小于 |v|-1，在此情况下，多余最短路径树高的迭代遍数就是时间上的浪费，由此，可以依次来实施优化。

从细节上分析，如果在某一遍迭代中，算法描述中第7行的松弛操作未执行，说明该遍迭代所有的边都没有被松弛。可以证明（怎么证明？）：至此后，边集中所有的边都不需要再被松弛，从而可以提前结束迭代过程。这样，优化的措施就非常简单了。

设定一个布尔型标志变量 relaxed，初值为false。在内层循环中，仅当有边被成功松弛时，将 relaxed 设置为true。如果没有边被松弛，则提前结束外层循环。这一改进可以极大的减少外层循环的迭代次数。

2、使用队列优化：

SPFA （见下篇文章）

模版题：UVA 558 - Wormholes