特殊计数序列

 

1.       CatalanCn = 1/(n+1) * C(2n, n)Cn = (4n-2)/(n+1) *Cn-1

a.       内部插入不相交对角线,将n+1条边的凸多边形分割为三角形的计数

b.      n+1n-1构成的序列a,对于所有k = 1, 2, 3, .. ,2n ,满足ak>=0的序列个数

c.       CatalanCn*=n!Cn-1Cn*=(4n-6) Cn-1* Cn*=(n-1)!C(2n-2, n-1)

2.       差分序列和Stirling

a.       对于一般项是np次多项式,对于n>=0p+1hn=0

b.      线性性:p(c*gn+ d*fn) = c*pgn+ d*p fn)

c.       满足差分表第0条对角线为序列c的序列h满足

hn= c0*C(n, 0) + c1*C(n, 1) +…+ cn*C(n, p)

d.      用第0条对角线计算∑np的值,p为定制,n循环

设在p的情况下,第0条对角线上的数分别为c(p, 0), c(p, 1)…

np=c(p, 0) *C(n, 0) + c(p, 1)*C(n, 1) + … +c(p, p)*C(n, p)

                =∑(k=0..p) ( c(p, k)/k! * [n]k)

其中[n] k= n!/k! (k>0) 1 (k=0)

S(p, k) = c(p, k)/k!

np= ∑(k=0..p) ( S(p, k) * [n]k)

S(p, k)被称为第二类Stirling

e.      第二类Stirling数满足Pascal型递推关系

S(p,k) = k*S(p-1, k) + S(p-1, k-1)

它的含义是将p个可区分的元素分到k个不可分别的非空集合的 计数

如果集合可分别,则为S(p, k) * k!

f.        BellBp是将p个不同元素分入非空不可分辨集合的计数

Bp= ∑(k = 0..p) S(p, k) 

g.       第二类Stirling数用[n]0, [n]1…[n]pnp第一类Stirlingn0, n1… np [n]p

[n]p =  (n)(n-1)(n-2)..(n-k+1) = ∑(k=0..p) (-1)p-ks(p, k)nk

第一类Stirling数是将p个物体排成k个非空的循环队列的方法数

 

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