Codeforces Round #146 (Div. 2) D. Let's Play Osu!

比赛的时候没有想出来，后来看了下思路，仔细研究后可以发现更多有用的东西

首先，考虑这样的问题，如果不是长度平方，仅仅是长度，那么期望是多少？

很显然是p1+p2+p3+····+pn，求解问题的麻烦之处就在于平方，看看数据量可以发现

这个题目最多接受nlogn算法，n*n就会超，求解这种期望类型的题目，大多采用dp的形式

但是这里状态很难控制且前后关系不够紧密，我的思考大概就到这，后来看的大牛的题解,

对于长度len，len*len=c（len，2）*2+len，所以sigma（len*len）=sigma(len)+sigma(c(len,2));

sigma(len) 是我们上面想的问题很简单 只需要将概率累加即可，下面考虑右半部分，右半部分相当于

k个 连续长度中leni中连续段的个数，听起来很抽象，我们可以看eg

oxoxooo ，在这个例子里面连续段只有3个 其他都是独立的 ，当长度只有1是len*len与len的期望是一致的

现在再用dp来解决这个问题，右半部分为总长度上连续段数的期望，令dp[i]表示1-i 连续段数（i必须为o）的期望

显然dp[1]=0; dp[2]=p1*p2,dp[3]=p2*p1*p3+p2*p3,我们可以发现这样一个事情，dp[i]=dp[i-1]*p[i]+p[i-1]*p[i]，开始不太好理解

我们可以计算一下

dp[k]=p[1]*p[2]*p[3]····*p[k]+p[2]*p[3]*p[4]····*p[k]+p[3]*····*p[k]+```````+p[k-1]*p[k]

dp[k-1]=p[1]*p[2]*p[3]····*p[k-1]+p[2]*p[3]*p[4]····*p[k-1]+p[3]*····*p[k]+```````+p[k-2]*p[k-1]

显然dp[k]=dp[k-1]*p[k]+p[k-1]*p[k];

下面是代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<sstream>
#include<string>
#include<climits>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
#define iinf 0x7f7f7f7f
#define linf 1000000000000000000LL
#define dinf 1e200
#define eps 1e-11
#define all(v) (v).begin(),(v).end()
#define sz(x)  x.size()
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define lng long long
#define sqr(a) ((a)*(a))
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<lng,lng>
#define pss pair<string,string>
#define pdd pair<double,double>
#define X first
#define Y second
#define pi 3.14159265359
#define ff(i,xi,n) for(int i=xi;i<=(int)(n);++i)
#define ffd(i,xi,n) for(int i=xi;i>=(int)(n);--i)
#define ffl(i,r) for(int i=head[r];i!=-1;i=edge[i].next)
#define ffe(i,r) for(_edge *i=head[r];i;i=i->next)
#define cc(i,j) memset(i,j,sizeof(i))
#define two(x)          ((lng)1<<(x))
#define lson l , mid , rt << 1
#define rson mid + 1 , r , rt << 1 | 1
#define mod  1073741824
#define pmod(x,y) (x%y+y)%y
using namespace std;
typedef vector<int>  vi;
typedef vector<string>  vs;
template<class T> inline void checkmax(T &x,T y)
{
    if(x<y) x=y;
}
template<class T> inline void checkmin(T &x,T y)
{
    if(x>y) x=y;
}
template<class T> inline T Min(T x,T y)
{
    return (x>y?y:x);
}
template<class T> inline T Max(T x,T y)
{
    return (x<y?y:x);
}
template<class T> T Abs(T a)
{
    return a>0?a:(-a);
}
template<class T> inline T lowbit(T n)
{
    return (n^(n-1))&n;
}
template<class T> inline int countbit(T n)
{
    return (n==0)?0:(1+countbit(n&(n-1)));
}
double dp,ans,te,pre;
int n;
int main()
{
   while(scanf("%d",&n)==1)
   {
       ans=0;
       pre=0;
       dp=0;
       ff(i,1,n)
       {
           scanf("%lf",&te);
           ans+=te;
           dp=dp*te+pre*te;
           ans+=dp*2;
           pre=te;
       }
       printf("%.10lf\n",ans);
   }
    return 0;
}