BZOJ 3295 动态逆序对 CDQ分治

题目大意:给定一个1~n的序列,然后m次删除元素,每次删除之前询问逆序对的个数

n<=10W,m<=5W

暴力?O(mnlogn),必死无疑

主席树和树套树都能写 麻烦死!就决定是你了!CDQ分治!

首先我们正反跑两次树状数组,可以轻松得到总逆序对数ans和每个元素所在逆序对数cnt[i]

然后每次删除一个元素,ans就减少了cnt[x]。。。等等!不对!

比如说对于逆序对(x,y),当我们删除x之后再删除y,那么这个逆序对就被删除了两次

于是我们还要加上一个值f[i],表示该删除元素加入后删除元素序列中新增加的逆序对数

比如说对于样例,当我删除了前两个元素后,删除序列为1 5

现在加入在第四个位置上的4后,删除序列变为了1 5 4

逆序对多了一个,故f[3]=1

f[i]怎么求呢?

我们令x为元素的值,y为元素的位置,pos为询问的时间

则f[ pos[i] ]=size_of { j | (xi-xj)*(yi-yj)<0 , pos[j]<pos[i] }

还是拿样例来说话

x = { 5,1 }

y = { 2,1 }

加入4后

x = { 5,1,4 }

y = { 2,1,4 }

对于j=1,i=3,有xi>xj&&yi<yj,故f[3]=1

这个序列按照pos排序后还剩二维,不太好求,于是我们用CDQ分治干掉一维

按照y值排序后,每层递归保证y值递增,用x值正反维护两遍树状数组即可

时间复杂度O(mlogm*logn) 比树套树快很多 我的代码在BZOJ暂时排了第四 可见CDQ分治是多么强大的一个算法

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define M 100100
using namespace std;
int n,m,cnt[M],a[M],b[M],c[M],tim[M],f[M>>1],tot;//若a[i]=j,则b[j]=i 
long long ans;
void update(int x,char flag)//向上修改 flag=1,向下修改 flag=-1 
{
	for(;x&&x<=n;x+=(x&-x)*flag)
	{
		if(tim[x]!=tot)
			c[x]=0,tim[x]=tot;
		c[x]++;
	}
}
int getans(int x,char flag)//向上查询 flag=1 向下修改 flag=-1 
{
	int re=0;
	for(;x&&x<=n;x+=(x&-x)*flag)
		if(tim[x]==tot)
			re+=c[x];
	return re; 
}
struct abcd{
	int x,y,pos;
}q[M>>1],nq[M>>1];
bool operator < (abcd x,abcd y)
{
	return x.y<y.y;
}
void CDQ(int l,int r)
{
	int i,j,mid=l+r>>1;
	if(l==r)
	{
		printf("%lld\n",ans);
		ans-=cnt[q[mid].y];
		ans+=f[mid];
		return ;
	}
	int l1=l,l2=mid+1;
	for(i=l;i<=r;i++)
		if(q[i].pos<=mid)
			nq[l1++]=q[i];
		else
			nq[l2++]=q[i];
	memcpy( q+l , nq+l , sizeof(q[0])*(r-l+1) );
	CDQ(l,mid);
	tot++;j=l;
	for(i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		for(;j<=mid&&q[j].y<q[i].y;j++)
			update(q[j].x,-1);
		f[q[i].pos]+=getans(q[i].x,1);
	}
	tot++;j=mid;
	for(i=r;i>mid;i--)
	{
		for(;j>=l&&q[j].y>q[i].y;j--)
			update(q[j].x,1);
		f[q[i].pos]+=getans(q[i].x,-1);
	}
	CDQ(mid+1,r);
	l1=l;l2=mid+1;
	for(i=l;i<=r;i++)
		if( (q[l1]<q[l2]||l2>r) && l1<=mid )
			nq[i]=q[l1++];
		else
			nq[i]=q[l2++];
	memcpy( q+l , nq+l , sizeof(q[0])*(r-l+1) );
}
int main()
{
	int i;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]),b[a[i]]=i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cnt[i]=getans(a[i],1);
		update(a[i],-1);
		ans+=cnt[i];
	}
	tot++;
	for(i=n;i;i--)
	{
		cnt[i]+=getans(a[i],-1);
		update(a[i],1);
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&q[i].x);
		q[i].y=b[q[i].x];
		q[i].pos=i;
	}
	sort(q+1,q+m+1);
	CDQ(1,m);
}


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