默慈金数

今天，我来讲一种比较特殊的数，可能很多人都没有听过这种数，它叫默慈金数。但事实是它早就已经进入了ACM竞

赛中了。好了，接下来让我们一起来认识它，并会讲述一些它的重要应用。

 

在百度百科上，是这样定义默慈金数的：一个给定的数的默慈金数是在一个圆上的个点间，画出彼此不相交弦的

全部方法的总数。比如为4时，方法数为9，如下图

 

                   

 

默慈金数在几何，组合数学和数论等领域中皆有其重要用途，它的递归定义如下

 

      

 

接下来是最重要的环节，来探讨上述递推公式的由来。有一篇论文有详细讲解，我已放到豆丁网上，如下

 

链接：http://www.docin.com/p1-964777006.html

 

 

其实默慈金数还有很多不同的展现方式，比如：在一个网格上，若限定每步只能向右移动一格，可以右上，右下，

横向，向右，并禁止移动到以下的地方，则以这种走法移动步从到的可能形成的路径的总数

为的默慈金数。如下图示

 

     

 

接下来，看几个比较典型的题目。

 

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3723

 

分析：赤裸裸的求默慈金数，用Java处理大数比较方便。实际上默慈金数还有另一个公式，如下

 

      

 

     对于本题，我们枚举有步向上，那么必然有步向下，则针对每个得到答案是，求和

     后便得到最终答案。

 

代码：

import java.math.*;
import java.util.*;

public class Main {

    public static final int N = 10005;
    public static final BigInteger MOD = BigInteger.valueOf(10).pow(100);
    public static BigInteger ans[] = new BigInteger[N];
    public static void Init(){
        ans[1] = BigInteger.valueOf(1);
        ans[2] = BigInteger.valueOf(2);
        for(int i = 3; i < N; i++){
            BigInteger a = ans[i - 1].multiply((BigInteger.valueOf(2).multiply(BigInteger.valueOf(i)).add(BigInteger.valueOf(1))));
            BigInteger b = ans[i - 2].multiply((BigInteger.valueOf(3).multiply(BigInteger.valueOf(i)).subtract(BigInteger.valueOf(3))));
            ans[i] = (a.add(b)).divide(BigInteger.valueOf(i).add((BigInteger.valueOf(2))));
        }
    }

    public static void main(String[] args){
        Init();
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        while(cin.hasNext()){
            int n = cin.nextInt();
            System.out.println(ans[n].mod(MOD));
        }
    }
}

 

题目：http://acdream.info/problem?pid=1667

 

分析：数一巨巨的题目，仔细想想实际跟上题一样，直接上默慈金数即可。

 

默慈金数的生成函数详见：http://mathworld.wolfram.com/MotzkinNumber.html

 

 

讲完了默慈金数，还有一类数，叫做那罗延数，具体参考如下链接

 

链接：http://en.wikipedia.org/wiki/Narayana_number