浮点数的基础知识

1.浮点数的十进制表现形式

·我们知道，在 十进制中通常一个浮点数可以用科学计数法来表示，举例：

eg.1                            -306.5可以表示为-0.3065*10^3

其中 - 是符号，指数3是阶或称阶码，0.3065是小数部分，左右两端非0包起来的部分是有效值，此例中的有效值是3065。由于小数部分也称为尾数，所以3065也是尾数。

eg.2                         -3.87

其中，有效值为387，尾数为87

 

·为什么称为浮点数呢？

因为他可以表示为 -3.065*10^2 也可以表示为 -0.03065*10^4 等，小数部分可以左右“浮动” ，但不管小数部分怎么移动，其有效值保持不变，都是3065（注意：尾数是变化的）。于是，两个浮点数相加就先要通过小数点的左右浮动，将阶码对齐后进行尾数相加。

(当阶码为固定值时，数的这种表示法称为定点表示，这样的数称为“定点数”；当阶码为可变时，数的这种表示法称为浮点表示，这样的数称为“浮点数”。)

·十进制浮点数规格化

为了使有效值和尾数能够统一，在空间上表达更有效率，有必要将所有浮点数规格化。

规格化标准：通过调整阶码将浮点数写成小数点前不含有有效数字，小数点后第一位由非0数字表示，举例-306.5规格化为-0.3065*10^3。 

 

 

2.十进制浮点数转换为二进制浮点数

在计算机内部，浮点数都是以二进制表示的。所以对于十进制浮点数，我们要把它先转换为二进制浮点数。

分两步走：

a.整数部分的转换，采用"除2取余法"。

b.小数部分采用"乘2取整法"。即把小数部分乘2（第一次计算），所得结果的整数部分作为小数的十分位，所得结果的小数部分再乘2（第二次计算），第二次计算所得结果的整数部分作为小数的百分位...以此类推，直到达到所需精度。

 

 

3.二进制浮点数的尾数及规格化

当十进制浮点数转换完成二进制浮点数后，就要像十进制数那样对二进制数规格化，以便于计算机表示。

·二进制浮点数的规格化

规格化标准：通过调整小数点的阶码使得该数的有效值在1和2之间，既二进制浮点数的整数部分为1。

例如：0.8125 = 0.1101(二进制) = 1.101*2^(-1)   

注意：上例末尾的(-1)是阶码，它也是二进制表示。然而，提到阶码就不得不提移码(增码)，计算机移码就是在原有的补码的基础上对于符号取反。

·那么为什么会用移码来表示阶码呢？

因为用补码表示阶码的时候，当阶码无限小，产生了下溢的时候，阶码变成了0，那么这个浮点数的值变为了1。而实际上这个数是无限接近于零的。那么我们就需要取出其中的 "-0“ 值作为机器零。

 

4.计算机二进制浮点数表示过程

先看浮点数二进制表达的三个组成部分：

主要成分是：

• Sign（1bit）：表示浮点数是正数还是负数。0表示正数，1表示负数
• Exponent（8bits）：指数部分。类似于科计数法中的M*10^N中的N，只不过这里是以2为底数而不是10。需要注意的是，这部分中是以2^7-1即127，也即01111111代表2^0，转换时需要根据127作偏移调整。
• Mantissa（23bits）：尾数部分。浮点数具体数值的实际表示

实例：

Step 1 改写整数部分
以数值5.2为例。先不考虑指数部分，我们先单纯的将十进制数改写成二进制。
整数部分很简单，5.即101.。

Step 2 改写小数部分
小数部分我们相当于拆成是2^-1一直到2^-N的和。例如：
0.2 = 0.125+0.0625+0.007825+0.00390625即2^-3+2^-4+2^-7+2^-8….，也即.00110011001100110011

Step 3 规格化
现在我们已经有了这么一串二进制101.00110011001100110011。然后我们要将它规格化，也叫Normalize。其实原理很简单就是保证小数点前只有一个bit。于是我们就得到了以下表示：1.0100110011001100110011 * 2^2。到此为止我们已经把改写工作完成，接下来就是要把bit填充到三个组成部分中去了。

Step 4 填充
指数部分（Exponent）：之前说过需要以127作为偏移量调整。因此2的2次方，指数部分偏移成2+127即129，表示成10000001填入。
尾数部分（Mantissa）：除了简单的填入外，需要特别解释的地方是1.010011中的整数部分1在填充时被舍去了。因为规格化后的数值整部部分总是为1。那大家可能有疑问了，省略整数部分后岂不是1.010011和0.010011就混淆了么？其实并不会，如果你仔细看下后者：会发现他并不是一个规格化的二进制，可以改写成1.0011 * 2^-2。所以省略小数点前的一个bit不会造成任何两个浮点数的混淆。