最大匹配与二分图建图概述

一：关于二分图最大匹配的两个定理：

1:最大匹配数 + 最大独立集 = n + m（n,m为二部图两部分的个数）
2:二分图的最小覆盖数 = 最大匹配数

3:最小路径覆盖 = 最大独立集

最大独立集是指求一个二分图中最大的一个点集，该点集内的点互不相连。

最小顶点覆盖是指 在二分图中，用最少的点，让所有的边至少和一个点有关联。

最小路径覆盖是指一个不含圈的有向图G中，G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束，且长度也为任意值，包括0

关于二分图最大匹配算法：http://blog.csdn.net/no_retreats/article/details/7854091

常见的建图模型：(以下是参照其他资源小结的)

模型一：行列匹配法

    

1	0	1
0	1	0
1	0	0

      如上图所述是一个3*3的矩阵，其中1表示有敌人，0表示没有敌人。我们现在有多支箭，而且每支箭能够杀死一行或者一列的敌人，问题是我们要杀死所有的敌人至少需要多少支箭？

      初初看来和二分图是没有什么联系，不过我们可以试试换个角度去思考问题，我们想要杀死敌人是不是只要有箭经过他就行了是吧，也就是说所有的敌人被箭覆盖过就行了。嗯，没错，就是覆盖，最小顶点覆盖。既然我们要杀的是敌人，那么我们的点就应该是敌人的位置，只要有箭经过敌人的位置，那敌人就被我们杀死了有木有。所以我们要依据点来建图，将点的横坐标看成是二分图的X部分，纵坐标看成是二分图的Y部分。由上图可知敌人的位置在（（1,1），（1,3），（2,2），（3,1）），因此我们就用坐标的横纵坐标来见二分图了，其中用边相连的边即为敌人所在的点了。

   ，一个二分图的最小顶点覆盖就是要找到最少的边把所有的顶点覆盖，正好符合这个题的要求，上面还给出了一个性质，即二分图的最小顶点覆盖是等于二分图的最大匹配。所以我们只需要对上面的那个二分图就最大匹配就行，这样把原本的问题转变的很简单了

模型二：黑白染色法

1	0	1
1	1	1
0	0	1

如上图还是一个3*3的矩阵，现在的问题就是让你把图中的1变为0，而且一次最多只能修改相邻的两个，问至少需要多少次的修改才能把所有的1修改为0？似乎用贪心，DP都派不上用场，当然在这里提出是要用二分图最大匹配来求解了，这里的关键是如何建图？既然是每次只能拿相邻的两个，是两个，正好我们匹配的时候也是找两个进行匹配，这就是这个问题和最大二分图匹配问题相联系的地方。但是每个点能和他四周的四个点匹配，那么我们怎么把所有的点分成来那个部分呢？ 一个解决办法就是要把第i个点放到第一部分，第i个点周围的四个点放到第二部分，再把这四个点周围的16点放到第1部分
有了这样的思想，我们只需对原图做这样的改动：黑白染色使四周和中间的颜色不同。

                                                           

 

图中黑白的意思是就是把点分类，图里的1,2,3,4,5,6表示的就是上面那个0,1图的1的个数
然后建图，把相邻的点相连，比如说1和2 2和3 。。。。。。。

                                                           

 

 

 然后要把所有一改为零，也就是要对每个点都操作，每个点都要有，那不就是最小顶点覆盖吗？嗯，是的，还是最小顶点覆盖。