首先总结一些二分图的概念和性质:
最大匹配: 图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配: 如果所有点都在匹配边上,称这个最大匹配是完美匹配。
最小覆盖: 最小覆盖要求用最少的点(X集合或Y集合的都行)让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明:最少的点(即覆盖数)=最大匹配数
最小路径覆盖:
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图G的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个:X结点集中的i和Y结点集中的i',如果有边i->j,则在二分图中引入边i->j',设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。
最大独立集问题:
在N个点的图G中选出m个点,使这m个点两两之间没有边.求m最大值.
如果图G满足二分图条件,则可以用二分图匹配来做.最大独立集点数 = N - 最大匹配数
在这道题中,最难的是如何建图。如果没有接触过这类想法的话,应该很难做的出来。
预处理行和列,对每一行和每一列的所有连通块进行标记(以‘#’作为分割点),同一连通块标记相同数字。
然后视行和列为二分图的顶点集,如果第i行第j列为‘o’,则在顶点i和j所在的连通块建立一条边,然后就可以转换为求最小顶点覆盖集问题。
根据上面二分图的性质可得,最大匹配=最小覆盖(证明自行百度)。这样直接匈牙利算法跑一遍即可。
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; const int INF=0x3f3f3f3f; const int maxn=505; int T,n,m; char map[maxn][maxn]; int r[maxn][maxn],c[maxn][maxn],R,C; int line[maxn][maxn]; int girl[maxn],used[maxn]; bool dfs(int x){ for(int i=1;i<=C;i++){ if(line[x][i]&&!used[i]){ used[i]=1; if(!girl[i]||dfs(girl[i])){ girl[i]=x; return true; } } } return false; } int hungary(){ memset(girl,0,sizeof(girl)); int ans=0; for(int i=1;i<=R;i++){ memset(used,0,sizeof(used)); if(dfs(i)) ans++; } return ans; } int main(){ scanf("%d",&T); int Cas=1; while(T--){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%s",map[i]); memset(line,0,sizeof(line)); memset(r,0,sizeof(r)); memset(c,0,sizeof(c)); R=C=0; for(int i=0;i<n;i++){ bool flag=false; for(int j=0;j<m;j++){ if(map[i][j]=='o'){ if(!flag){ R++; flag=true; } r[i][j]=R; } else if(map[i][j]=='#') flag=false; } } for(int j=0;j<m;j++){ bool flag=false; for(int i=0;i<n;i++){ if(map[i][j]=='o'){ if(!flag){ C++; flag=true; } c[i][j]=C; } else if(map[i][j]=='#') flag=false; } } /*for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ cout<<r[i][j]<<" "; } cout<<endl; } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ cout<<c[i][j]<<" "; } cout<<endl; }*/ for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ if(map[i][j]=='o'){ line[r[i][j]][c[i][j]]=1; } } } int res=hungary(); printf("Case :%d\n",Cas++); printf("%d\n",res); } return 0; }