排列组合 permutations and combinations

推荐《程序员的数学》中排列组合一章，讲的太好了！

计数就是不重复，不遗漏的去将对象和整数对应起来。我们平时会简单的数数，但是如果在计数对象多的不能直接数时，就需要找到计数对象与整数之间的“对应规则”了。为此必须理解计数对象具有怎么样的特性和结构。

一个例子，内存中排列着要处理的100个数据。从第一个开始依次编号为0号，1号。。。那么最后1个数据的编号是多少呢？

答案：99。

程序员朋友肯定很少会答错这道题。只要找到了“对应规则”--从0开始编号，最后一个数据的号是n-1.

只要掌握了普遍规则，那么数字有多大都不会出错，这点很重要。因此在计数问题中，最重要的是使用变量n将问题抽象出来。

置换

手中有三张牌A，B，C。现在问总共有多少张排法？--这种问题称之为置换(substitution).

解法：

选取第一张牌时有3种选择，选取第二张牌时有2种选择，选择第三张牌时只剩下一种选择了。因此应该是3*2*1=6种排法。

由此可见此类问题是牌数的阶乘n!(factorial)，因乘数呈阶梯状而得名。0!=1而不是0.

这其实也是程序中我们常常说的“全排列”的问题，但是其实和数学中的“排列”不是一个哈。

为什么这种排法称为置换呢？因为相当于在所有牌中，让两张牌交换彼此的位置并得到所有的可能性。

排列

手中有5张牌A,B,C,D,E。现在问从5张牌中抽出3长，然后排列，有多少种排法？

解法也很简单：

第一张牌有5种选择，第二张牌有4中选择，第三张牌有3种选择。因此是5*4*3=60.

我们把从n长牌中抽出k张按一定顺序排列的方法称为排列(Permutation). 排列的总数记做

P ^k_{n = n!/(n-k)!}

组合

手中有5张牌A,B,C,D,E。现在问从5张牌中抽出3张，不考虑顺序，有多少种组合？

这种问题称为组合(combination). 组合的计算方法可以首先计算出排列的总数，然后除以重复计算的部分(重复度)。

最后我们就得到了置换，排列和组合的关系：

以5张牌中取3张牌做排列为例，置换是“3张牌所有的排序可能”，组合是“从5张牌中抽出3张牌的所有可能”，排列是“5张牌中抽出3张牌，并做置换”。因此

“3张牌所有的排序可能” * “从5张牌中抽出3张牌的所有可能” = ”5张牌中抽出3张牌，并考虑顺序做排列”

下面是两道思考题

1， 现在要用颗粒状的药品调配一种新药。药品有A,B,C三种。调配规则如下：

从A,B,C中共取100粒； A,B,C这3种药中至少有一种；不考虑药品调配的顺序。

问，新药调剂有多少种组合？

2，现在有5张扑克牌，其中王2张，其他J，Q，K各一张。将5张牌列在一起，左端或右端至少有一张王牌的排列方法有多少种？