数学的力量（四）
一个月没写博客，都是被论文整的，期间还参加了个Topcoder的马拉松，排在十几名，也没拿到奖金，蛋疼的很。
本篇博客还是从组合数学的角度出发，继续探讨数学在编程中的力量。
问题描述：
给定N个不重复的整数和一个正整数A，使在N中无放回的选出4个数，使得该四个数之和等于A，求有多少种选法。
1、O（n^4）
首先给出编程方法与思路最简单，但执行时间最长的方法。既然要从N个数选取4个，就遍历其所有组合就好了，需要遍历的总数为C（N，4），当N趋近正无穷时，这个组合数和N^4是同阶无穷大，所以需要的时间复杂度为O(N^4)。
当然这种最原始的方法只能自己想想，如果刷比赛题目或者去面试把这个当作答案估计要被人喷死。
2、O（n^3）
再稍微仔细分析一下这个问题，我们可以发现，这么一个事实。
取4个数的实质是判断集合中哪4个数需要取，但实际上我们不需要取4个数，而只取三个数就够了。取出三个数后，只需要判断A与这三个数的差是否还在集合中，若在，则是一种可行的组合，若不在，则不可能找到可行的组合。
所以为了实现O(1)的查找，在数据结构上可选择哈希表，先使用O(n)的时间构造一个哈希表，然后遍历所有的3-组合数，即可得到答案。
值得注意注意的是，这样做不能保证同一个解只选取了一次，举例来说，假定N个数为1、2、3、4、5，此时有A=10，当求三的组合数的时候，若选取的是1、2、3，则会找到一个可行的组合；若选取2、3、4，则也会找到一个可行的组合，而这属于同一组合。
因此还需要使用一个Set来存放解，以此来保证每一个解的唯一性。
3、O（n^2）
使用一些数据结构上的技巧，通过空间换时间的方法，感觉应该也是可以达到N^2时间复杂度的，比如使用一个更大的hashtable来存储所有2-组合的和，在此基础上通过负责的机制与分析或许可以得到n^2时间复杂度的方法，但笔者在这里说的是使用一种数学方法构造时间复杂度为n^2的算法。
设n个不同的数为a1,a2,a3.....an，则构造函数f(x)=(1+x^a1)(1+x^a2)(1+x^a3)...(1+x^an)。易知展开后x次数为A项的系数就是所要求的结果。
剩下的工作就很简单了，编个程序展开这个多项式，比如用个链表存储系数，很容易就能写出这样的程序。
一共要展开n项，但由于越往后多项式的长度越长，所以时间复杂度为O(n^2)。
4、O(n)
在n^2时间复杂度的基础上我们尝试继续分析以找出更快的算法。在上一步多项式展开过程中，其实我们不仅求出了和是A的组合数，还求出了和是其它所有自然数的组合数，在多项式全展开的过程中实际上我们做了很多不必要的工作。
因此，可否存在某个方法，直接就得到次数为A项的系数呢？
答案是肯定的。求函数f(x)在x=0点的泰勒级数展开式的第A项的系数即可，具体来说就是求函数f(x)在0点的A阶导数。使用数值方法计算A阶导数只需要取0点附近的A个数，然后通过简单的递归就能得出，在这里不在赘述。因此，我们找到了一种O(n)时间复杂度的方法。
5、O（1）
这。。。真的存在吗？反正我是没找到。