Codeforces #268 Div 1 简要题解

A. 24 Game

题目链接

http://codeforces.com/contest/468/problem/A

题目大意

给你数字 1...n ，每次操作时，你可以从数字中选出两个数做加或减或乘操作，得到一个结果并放回数字堆中。直到最后只剩下一个数字，现在要让最后留下来的那个数字是24，问是否存在一种操作方案，并输出一组可行方案。

思路

显然， n<4 时无解。

n=4,5 时可以手玩出解来。
n>5 时，则可以先用 n=4,5 时的解凑出一个24，然后再凑出很多的数字1，将数字1和数字24相乘耗掉多余的数字

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(n<4)
    {
        printf("NO\n");
        return 0;
    }
    printf("YES\n");
    if(n&1)
    {
        for(int i=6;i<=n;i+=2)
            printf("%d - %d = 1\n",i+1,i);
        printf("1 * 2 = 2\n");
        printf("3 + 4 = 7\n");
        printf("7 + 5 = 12\n");
        printf("2 * 12 = 24\n");
        for(int i=6;i<=n;i+=2)
            printf("1 * 24 = 24\n");
    }
    else
    {
        for(int i=5;i<=n;i+=2)
            printf("%d - %d = 1\n",i+1,i);
        printf("1 + 2 = 3\n");
        printf("3 + 3 = 6\n");
        printf("6 * 4 = 24\n");
        for(int i=5;i<=n;i+=2)
            printf("1 * 24 = 24\n");
    }
    return 0;
}

B. Two Sets

题目链接

http://codeforces.com/contest/468/problem/B

题目大意

给你数字 p1...pn ，要你将它们分成两个集合 A,B ，使得 pi∈A,∃a−pi∈A ； pi∈B,∃b−pi∈B

思路

此题做法很多，可以用2SAT，DFS等等。这里我选择的是并查集的做法。

建立两个新的元素 pn+1,pn+2 ，若在并查集中， pi 和 pn+1 在同一集合，就表明数字 pi 必须放入集合 A 中。 pi 和 pn+2 在同一集合，就表明数字 pi 必须放入集合 B 中。

在并查集中，若 pi 和 pj 在同一集合，就表明 pi 和 pj 可以被同时放入集合 A 或 B 中。若对于 pi,∃pj=a−pi 或 ∃pj=b−pi ，就在并查集中合并 pi,pj

若最终 pn+1,pn+2 在同一集合，显然矛盾，无解。

然后对于所有的与 pn+1 在同一集合的 pi ，都放入集合 A 中，其他的都放入集合 B

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>

#define MAXN 110000
#define MOD 300007

using namespace std;

int f[MAXN];

int findSet(int x)
{
    if(f[x]==x) return x;
    return f[x]=findSet(f[x]);
}

map<int,int>mp;

int n,a,b,p[MAXN],mark[MAXN],tmpmark[MAXN]; //mark[i]&1=1表示第i个数字可以放入A中，mark[i]&2=2表示第i个数字可以放入B中

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]),mp[p[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n+2;i++) f[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(mp.count(a-p[i]))
        {
            int roota=findSet(i),rootb=findSet(mp[a-p[i]]);
            f[roota]=rootb;
        }
        else
        {
            int roota=findSet(i),rootb=findSet(n+2);
            f[roota]=rootb;
        }

        if(mp.count(b-p[i]))
        {
            int roota=findSet(i),rootb=findSet(mp[b-p[i]]);
            f[roota]=rootb;
        }
        else
        {
            int roota=findSet(i),rootb=findSet(n+1);
            f[roota]=rootb;
        }
    }
    if(findSet(n+1)==findSet(n+2))
    {
        printf("NO\n");
        return 0;
    }
    printf("YES\n");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",findSet(i)==findSet(n+2));
    printf("\n");
    return 0;
}

C. Hack it!

题目链接

http://codeforces.com/contest/468/problem/C

题目大意

要你构造 l,r ，使得 ∑ri=lf(i)moda=0
f(i)= 数字 i 的每个数位之和

思路

定义 g(l,r)=∑ri=lf(i) ,可以得到一个结论：

g(1,10k)+x=g(1+x,10k+x)

显然在区间移动过程中，所有数字 100 到 10k−1 位的数位和没变，第 10k 位的数位和多了 x 个1，因此 g(1+x,10k+x) 多了 x

于是我们可以先求出 g(1,1018)moda 的值，假设为 t ，有公式 g(1,10k)=45∗k∗10k−1 。然后我们将区间 [1,1018] 右移 a−t 位，变成 [1+a−t,1018+a−t] 即可得到一个可行的区间

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long int LL;

int main()
{
    LL a;
    scanf("%I64d",&a);
    LL t=(5*(9*(18*(((LL)1e17)%a)%a)%a)%a+1)%a; //solve(1,1e18)mod a
    printf("%I64d %I64d\n",1+a-t,(LL)1e18+a-t);
    return 0;
}