笔试中看到的Catalan数

 

 

卡特兰数：规定C₀＝1，而C₁＝1，C₂＝2，C₃＝5，C₄＝14，C₅＝42，C₆＝132，C₇＝429，C₈＝1430，C₉＝4862，C₁₀＝16796，

C₁₁＝58786，C₁₂＝208012，C₁₃＝742900，C₁₄＝2674440，C₁₅＝9694845·········································

卡塔兰数的一般项公式为                       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

C_n的另一个表达形式为

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

hai可以这样推导出来：

 

n	推到过程	Cn
1	1	1
2	1  1	2
3	1  2  2	5
4	1  3  5  5	14
5	1  4  9  14  14	42
6	1  5  14  28  42  42	132
7	1  6  20  48  90  132  132	429
···	··· ···	···

所以，在做题的时候，我们应该用上面的公式Cn=Ck*Cn-k (k=1,2``n)来判断是否使用于katalan数来解决问题，合适就列出前几项来判断推到出答案

总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

1.括号化问题。

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

（能构成h（N）个）

Catalan数的解法

Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);

此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

• Cn=n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

• Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

• Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

下面是一些大公司的笔试题

先来一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

C8=1430，所以总数=1430*8！*8！

2012腾讯实习招聘笔试题

在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

C3=5；所以总数为5*3！*3！=180.