计算几何之线段性质（一）：判断两线段相交
在研究线段相交之前，我们首先来看一下点定位中是如何判断点是否在线段上的：
设有点Q及线段P1P2，判断Q在线段P1P2上包括两条依据：
（1）（Q-P1）×（P2-P1）=0（这里×表示叉积）；
（2）Q在以P1P2为对角线的矩形内。
前者保证了Q在直线P1P2上，后者保证了点Q不在线段P1P2的延长线或反向延长线上。
代码入下：
typedef struct node
{
double x,y;
}Point;
bool on_segment(Point p1,Point p2,Point q)
{
if((q.x-p1.x)*(p2.y-p1.y)==(p2.x-p1.x)*(1.y-p1.y)&&min(p1.x,p2.x)<=q.x&&q.x<=max(p1.x,p2.x)&&min(p1.y,p2.y)<=q.y&&q.y<=max(p1.y,p2.y))
return true;
else return false;
}
有了点定位的概念，接下来我们看一下如何判断两线段相交：
对于给定4个点确定的两条线段A1A2，B1B2:
typedef struct {
double x, y;
} Point;
Point A1,A2,B1,B2;
判断两线段是否相交需要分两步确定：
1.快速排斥实验
设以线段A1A2和线段B1B2为对角线的矩形为M,N;
若M,N 不相交，则两个线段显然不相交；
判断矩形相交，只需判断某一矩形是否有顶点在另一个矩形内即可。
所以：只有当满足第一个条件时，两个线段才可能相交。
2.跨立实验
如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方.若A1A2跨立B1B2，则矢量( A1 - B1 ) 和(A2-B1)位于矢量(B2-B1)的两侧，
即：（(A1-B1) × (B2-B1) ）·（ (A2-B1) × (B2-B1)）<0。
上式可以改写成：（(A1-B1) × (B2-B1)） · （(B2-B1) × (A2-B1)）>0。
当(A1-B1) × (B2-B1)=0时，说明A1B1和B2B1共线，但前面已经通过了快速排斥实验，所以A1一定在B1B2上，所以判断线段A1A2是否跨立B1B2的依据就是：：（(A1-B1) × (B2-B1)） · （(B2-B1) × (A2-B1)）>=0。
同理，判断线段B1B2是否跨立A1A2的依据是：：（(B1-A1) × (A2-A1)） · （(A2-A1) × (B2-A1)）>=0。
如图：
应用：
1. 判断两个线段相交
2. 判断线段与直线相交
3. 判断点在矩形内
代码如下：
/*
若线段v1和线段v2的界限框同时在x方向和y方向相交且v1（或者v2）跨立于v2（或者v1）所在的直线，则返回true，否则返回false
*/
typedef struct node
{
double x,y;
}Point;
typedef struct line
{
Point start,end;
}vector;
double multi(Point p1,Point p2,Point p0)
{
return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
bool cross(vector v1,vector v2)
{
if(max(v1.start.x,v1.end.x)>=min(v2.start.x,v2.end.x)&&max(v2.start.x,v2.end.x)>=min(v1.start.x,v1.end.x)&&max(v1.start.y,v1.end.y)>=min(v2.start.y,v2.end.y)&&max(v2.start.y,v2.end.y)>=min(v1.start.y,v1.end.y)&&multi(v2.start,v1.end,v1.start)*multi(v1.end,v2.end,v1.start)>=0&&multi(v1.start,v2.end,v2.start)*multi(v2.end,v1.end,v2.start)>=0)
return true;
return false;
}