poj 1811 (素数判定+质因数分解)

题意:给定一个64位整数,问是否为质数,如果不是,则输出其最小因子。

分析:经典题数学题,给的数太大,普通方法肯定超时,就在网上找了这个算法


miller_rabbin素数判定。若不是,则pollard_rho分解质因子,找到最小即可。


Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理,即:如果p是质数,且a,p互质,那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题,对于一个p,我们只要举出一个a(a<p)不符合这个恒等式,则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。

但是每次尝试过程中还做了一个优化操作,以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理:如果p是一个素数,那么对于x(0<x<p),若x^2 mod p 等于1,则x=1或p-1。逆否命题:如果对于x(0<x<p),若x^2 mod p 不等于1,则p不是素数。根据这个定理,我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时,可以这样计算,设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始,不断将其平方直到得到a^(p-1),一旦发现某次平方后mod p等于1了,那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件,立即检查x是否等于1或p-1,如果不是则可直接判定p为合数。


pollard-rho

这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法,需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是,先判断n是否为素数,如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列,对于每个生成的随机数判断与n是否互质,如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p,递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。



#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
typedef __int64 LL;
const int S=20;//随机算法判定次数,S越大,判错概率越小

//***************Miller_Rabin 算法进行素数测试***************
LL mult_mod(LL a,LL x,LL n)//返回(a*x) mod n,a,x,n<2^63
{
	a%=n;x%=n;
	LL ret=0;
	while(x)
	{
		if(x&1){ret+=a;if(ret>=n)ret-=n;}
		a<<=1;
		if(a>=n)a-=n;
		x>>=1;
	}
	return ret;
}
LL pow_mod(LL a,LL x,LL n)//返回a^x mod n
{
	if(x==1)return a%n;
	int bit[70],k=0;
	while(x)
	{
		bit[k++]=(x&1?1:0);
		x>>=1;
	}
	LL ret=1;
	for(--k;k>=0;k--)
	{
       ret=mult_mod(ret,ret,n);
	   if(bit[k])ret=mult_mod(ret,a,n);
	}
	return ret;
}
bool judge(LL a,LL n,LL x,LL t)//以a为基,n-1=x*2^t,检验n是不是合数
{
	LL ret=pow_mod(a,x,n),flag=ret;
	for(LL i=1;i<=t;i++)
	{
		ret=mult_mod(ret,ret,n);
		if(ret==1&&flag!=1&&flag!=n-1)return true;
		flag=ret;
	}
	if(ret!=1)return true;
	return false;
}
bool Miller_Rabin(LL n)
{
	if(n==2||n==5||n==7||n==11)return true;
	if(n%2==0||n%5==0||n%7==0||n%11==0)return false;
	LL x=n-1,t=0;
	while((x&1)==0)x>>=1,t++;
	bool flag=true;
	if(t>=1&&(x&1)==1)
	{
		for(int i=1;i<=S;i++)
		{
			LL a=rand()%(n-1)+1;
			if(judge(a,n,x,t)){flag=true;break;}
			flag=false;
		}
	}
	if(flag)return false;
	else return true;
}
//*******pollard_rho 算法进行质因数分解*****************
LL factor[100];//质因子
int tot;//质因子个数
LL gcd(LL a,LL b)
{
    if (a==0) return 1;
    if (a<0) return gcd(-a,b);
    while (b)
	{
        LL t=a%b; a=b; b=t;
    }
    return a;
}
LL Pollard_rho(LL x,LL c)
{
    LL i=1,x0=rand()%x,y=x0,k=2;
    while (1)
	{
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        LL d=gcd(y-x0,x);
        if (d!=1 && d!=x)
            return d;
        if (y==x0) return x;
        if (i==k)
		{
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}
void find_factor(LL n) //递归进行质因数分解N
{          
    if (Miller_Rabin(n))
	{
        factor[tot++] = n;return;        
    }
    LL p=n;
    while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand() % (n-1) +1);
    find_factor(p);
    find_factor(n/p);
}
int main()
{
	int t;
	LL n;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%I64d",&n);
		if(Miller_Rabin(n))
			printf("Prime\n");
		else
		{
			tot=0;
			find_factor(n);
			LL minfac=factor[0];
			for(int i=1;i<tot;i++)
				if(minfac>factor[i])
					minfac=factor[i];
			printf("%I64d\n",minfac);
		}
	}
	return 0;
}


你可能感兴趣的:(编程,算法,百度,数论,ACM)