poj 1811 (素数判定+质因数分解)
题意：给定一个64位整数，问是否为质数，如果不是，则输出其最小因子。
分析：经典题数学题，给的数太大，普通方法肯定超时，就在网上找了这个算法
miller_rabbin素数判定。若不是，则pollard_rho分解质因子，找到最小即可。
但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。
这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
typedef __int64 LL;
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//***************Miller_Rabin 算法进行素数测试***************
LL mult_mod(LL a,LL x,LL n)//返回(a*x) mod n,a,x,n<2^63
{
a%=n;x%=n;
LL ret=0;
while(x)
{
if(x&1){ret+=a;if(ret>=n)ret-=n;}
a<<=1;
if(a>=n)a-=n;
x>>=1;
}
return ret;
}
LL pow_mod(LL a,LL x,LL n)//返回a^x mod n
{
if(x==1)return a%n;
int bit[70],k=0;
while(x)
{
bit[k++]=(x&1?1:0);
x>>=1;
}
LL ret=1;
for(--k;k>=0;k--)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(bit[k])ret=mult_mod(ret,a,n);
}
return ret;
}
bool judge(LL a,LL n,LL x,LL t)//以a为基，n-1=x*2^t，检验n是不是合数
{
LL ret=pow_mod(a,x,n),flag=ret;
for(LL i=1;i<=t;i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==1&&flag!=1&&flag!=n-1)return true;
flag=ret;
}
if(ret!=1)return true;
return false;
}
bool Miller_Rabin(LL n)
{
if(n==2||n==5||n==7||n==11)return true;
if(n%2==0||n%5==0||n%7==0||n%11==0)return false;
LL x=n-1,t=0;
while((x&1)==0)x>>=1,t++;
bool flag=true;
if(t>=1&&(x&1)==1)
{
for(int i=1;i<=S;i++)
{
LL a=rand()%(n-1)+1;
if(judge(a,n,x,t)){flag=true;break;}
flag=false;
}
}
if(flag)return false;
else return true;
}
//*******pollard_rho 算法进行质因数分解*****************
LL factor[100];//质因子
int tot;//质因子个数
LL gcd(LL a,LL b)
{
if (a==0) return 1;
if (a<0) return gcd(-a,b);
while (b)
{
LL t=a%b; a=b; b=t;
}
return a;
}
LL Pollard_rho(LL x,LL c)
{
LL i=1,x0=rand()%x,y=x0,k=2;
while (1)
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
LL d=gcd(y-x0,x);
if (d!=1 && d!=x)
return d;
if (y==x0) return x;
if (i==k)
{
y=x0;
k+=k;
}
}
}
void find_factor(LL n) //递归进行质因数分解N
{
if (Miller_Rabin(n))
{
factor[tot++] = n;return;
}
LL p=n;
while (p>=n) p=Pollard_rho(p,rand() % (n-1) +1);
find_factor(p);
find_factor(n/p);
}
int main()
{
int t;
LL n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%I64d",&n);
if(Miller_Rabin(n))
printf("Prime\n");
else
{
tot=0;
find_factor(n);
LL minfac=factor[0];
for(int i=1;i<tot;i++)
if(minfac>factor[i])
minfac=factor[i];
printf("%I64d\n",minfac);
}
}
return 0;
}