基变换和图像压缩

实际应用中经常会碰到从一组基变换到另一组基的情况，例如压缩（compressing），压缩的本质就是基变换，例如对一副512*512的静态图像（still image）进行压缩，图像原本采用的基是标准基，在标准基下每个像素一个灰度值。正因为相邻像素间相互关联，使得对图像压缩变成可能。将图像看成是一个512²长度的向量x，在压缩中常用的一个很好的基向量就是所有元素都为1的向量 ，当整幅图像比较平滑，各处都基本一致（solid image）时，只要这样一个全1的向量基本就能完整给出整张图像的信息，当然通常情况下图像不可能完全一致，很有可能其中混杂了一些其他信号，如噪声等，因此还需要一个可以描述这种情况的基，极端情况下，这个基向量可以设为 ，如果图像中有频繁交替的亮暗变换，则此向量可很好的表示出这种变化，还有一种比较常见的情况是图像一半偏暗，另一半偏亮，因此还需要一组一半1一半-1的基向量 ，上面的这3个基 就是傅里叶基。对于一副512*512的图像，在基变换之前，首先将其分解成一个个8*8的块（8*8比较常用，也可分解成其他大小的块），因为如果一次直接对原图像处理，计算量太大，在原来使用的标准基中，每个8*8的小块里有64个像素，采用64个基向量，则会产生64个系数，也就是图像灰度值，现对每个小块做基变换，比如改用傅里叶基来表示每个小块，这是一组比标准基更好的基，在傅里叶基下得到其对应的系数c，然后就是压缩，设定一个人眼无法看出差别的阈值，适当扔掉比阈值小的系数，一般情况下，全1向量的系数会比较大，正负1频繁交替的向量在平滑信号中系数会比较小，因为频繁交替的向量代表的是高频，例如噪音或抖动等，全1向量是低频信号，代表频率为0，用经过阈值化的傅里叶基下的系数来重构信号，信号等于这些系数乘上各自对应的基向量，由于进行了基变换，因此求和项不再是标准基下的64项，而是有可能只有两三项，假设有三项，从64减到3，则压缩比是21比1。

除了傅里叶基，小波基也是实际应用中常用的基向量。

上面这是R⁸空间中的8个基向量，也称小波（wavelets），当然这一组是较简单的小波，还可以有更精密的选择。假设现有8个连续像素值组成的向量P= ，这些像素值是标准基的系数，现将其用上述的8个小波表示，即P=c₁w₁+…+c₈w₈，用矩阵表示就是 ，前面由小波组成的矩阵称为小波矩阵W，进行基变换就是求取小波对应的系数c，从上面的方程P=Wc中可得系数为c=W^-1P，从这里可以看出什么样的基才能称为性质好：

1、性质好的基不仅本身计算速度快，而且能快速求逆，并且其逆参与计算的速度也快，性质好的基首先要计算快，小波矩阵W很容易求逆，因为组成这个矩阵的8个基向量之间是相互正交的，虽然不是标准正交，但标准化只是除以一个系数即可，如果列向量标准正交，那么矩阵的逆等于其转置，所以小波基通过了上面提出的“3快“要求。

2：性质好的基要具有良好的压缩性。如果压缩采用标准基，想扔掉90%的信息量，也就是说压缩比10：1，那就是扔掉了大量的像素值，再还原时图像就会变黑，但如果基性质好，像小波基或傅里叶基，如果扔掉几个基对应的系数，扔掉的也只是很少的信息量，因此这些基具有良好的压缩性，因此总结一下基向量的性质好主要体现在2点：1、必须计算快2、少量基向量就能接近信号，就能够重现图像。 

以上是基变换对向量坐标的影响，已知在标准系下的向量x，将其转换成新基下的向量c，则两者满足关系x=Wc，其中矩阵W是新基向量组成的矩阵，接下来分析一下基变换对变换矩阵的影响。假设某线性变换T，其在原基中对应的变换矩阵为A，在新基中对应的变换矩阵为B，那么可得到A和B是相似的，这里不给出证明，只给出结论。因此当发生基变换后，一是向量坐标会发生改变，x=Wc描述了向量新旧坐标间的关系；二是变换矩阵发生改变，B=M^-1AM描述了新旧变换矩阵之间的关系。