AVL树读书笔记
最近开始了自己高级数据结构之旅，在这次旅行中，我将持续把一些高级的数据结构从理论到编码都过一遍，同时通过博客形式分享出来，希望大家指出不足之处！
二叉排序树是一种动态排序的数据结构，支持插入、删除、查找等操作，且平均时间复杂度为O(log(N))，但是普通二叉排序树不能保证树退化为一颗分支的情况，此时最坏情况下的时间复杂度为O（N）。此时，平衡二叉树的产生了。平衡二叉树是一种动态调整平衡的数据结构，但理想的平衡二叉树很难，于是人们使用AVL、红黑树、Treap、伸展树等来替代平衡二叉树，这些数据结构可以很好地改善最坏情况。但实现起来并不是很容易的事。
AVL树是一种高度平衡的二叉查找树，但不是严格意义上的平衡二叉查找树。但AVL树实现相对简单，这里指相对简单。查找、插入、删除、修改等基本操作时间复杂度均为O(log(N))，此处指所有情况下（包括平均、最好、最坏）。一般情况下AVL树要维护一个平衡因子，但在实现时可以直接用高度避免节点所占空间变大。
调整
主要有两种操作，左旋LeftRotate、右旋RightRotate，在此基础上衍生出先左后右旋转LeftAndRightRotate，先右后左旋转RightAndLeftRotate。具体要视情况调整，下面是说明每种情况使用的场合。
（1）、左旋LeftRotate：2==当前节点右子树高度-当前节点左子树高度，并且右子树的右孩子节点高度大于右子树的左孩子节点高度，直接左旋。如图所示：
（2）、右旋RightRotate：-2==当前节点右子树高度-当前节点左子树高度，并且左子树的左孩子节点高度大于左子树的右孩子节点高度，直接左旋。如图所示：
（3）、先左后右旋转LeftAndRightRotate：-2==当前节点右子树高度-当前节点左子树高度，并且左子树的左孩子节点高度小于左子树的右孩子节点高度，直接左旋。如图所示：
（4）、先右后左旋转RightAndLeftRotate：2==当前节点右子树高度-当前节点左子树高度，并且右子树的右孩子节点高度小于右子树的左孩子节点高度，直接左旋。如图所示：
插入
在插入一个元素以后，很有可能不再平衡，此时需要调整平衡。可以从不在平衡的最底层节点开始，依据调整规则旋转，然后一次上调，这样最终就能保证处于平衡状态。此过程时间复杂度为O(log(N))，不将会出现极端情况。由于之前是平衡的，所以不平衡因素必定在根节点到当前插入节点的路径上，故只需调整此路径即可。
删除
要删除一个元素，可能有两种情况需要考虑，如下：
A、如果该元素所在节点没有右孩子节点，直接删除；
B、如果有右孩子，需找到右孩子所在子树的最大元素，用其替代本应删除节点元素，剩下就转到删除该右子树最小元素节点。当然可以找到左子树最大元素节点替代，只是1中条件也应相应的改变。
在删除一个元素后，很有可能不再平衡，此时需要调整平衡。可以从不在平衡的最底层节点开始，依据调整规则旋转，然后一次上调，这样最终就能保证处于平衡状态。此过程时间复杂度为O(log(N))，不将会出现极端情况。由于之前是平衡的，所以不平衡因素必定在根节点到当前插入节点的路径上，故只需调整此路径即可。
修改
修改在前面已有插入、删除的基础上就相对简单了，只需首先删除旧元素，然后插入新元素，时间复杂度为O(log(N))。由于转换成了先删除后插入的操作，所以能保证平衡。
源程序代码
//AVLTreeNode.h头文件，定义节点信息
#include<iostream>
using namespace std;
/**********************************
*功能:防止头文件多次包含
**********************************/
#ifndef AVLTREENODE_H
#define AVLTREENODE_H
struct AVLTreeNode
{
int key;
int height;
AVLTreeNode *leftChild;
AVLTreeNode *rightChild;
AVLTreeNode(int tempKey)
{
height=0;
key=tempKey;
leftChild=NULL;
rightChild=NULL;
}
};
#endif AVLTREENODE_H
//AVLTree.cpp源文件，完成AVL树的基本操作
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include"AVLTreeNode.h"
using namespace std;
class AVLTree
{
private:
AVLTreeNode *root;
AVLTreeNode *Search(int,AVLTreeNode *);
AVLTreeNode *LeftRotate(AVLTreeNode *);
AVLTreeNode *LeftAndRightRotate(AVLTreeNode *);
AVLTreeNode *RightRotate(AVLTreeNode *);
AVLTreeNode *RightAndLeftRotate(AVLTreeNode *);
int GetHeight(AVLTreeNode *);
void PreOrderPrint(AVLTreeNode *);
void InOrderPrint(AVLTreeNode *);
void SufOrderPrint(AVLTreeNode *);
void RotatePrint(AVLTreeNode *,int);
AVLTreeNode *Insert(int,AVLTreeNode *);
AVLTreeNode *Delete(bool&,int,AVLTreeNode *);
public:
AVLTree();
void Insert(int);
bool Search(int);
bool Delete(int);
bool Updata(int,int);
void PreOrderPrint();
void InOrderPrint();
void SufOrderPrint();
void RotatePrint();
};
AVLTree::AVLTree()
{
root=NULL;
}
/*********************************************
*参数：当前节点
*返回值：当前节点高度
*功能：返回当前节点高度
**********************************************/
int AVLTree::GetHeight(AVLTreeNode *tempNode)
{
return NULL==tempNode?-1:tempNode->height;
}
/*********************************************
*参数：待查找元素，当前节点
*返回值：元素所在节点
*功能：返回元素所在节点
**********************************************/
AVLTreeNode *AVLTree::Search(int tempKey,AVLTreeNode *tempNode)
{
if(NULL==tempNode)
return NULL;
else if(tempKey==tempNode->key)
return tempNode;
else if(tempKey<tempNode->key)
return Search(tempKey,tempNode->leftChild);
return Search(tempKey,tempNode->rightChild);
}
bool AVLTree::Search(int tempKey)
{
if(NULL==Search(tempKey,root))
return false;
return true;
}
/*********************************************
*参数：当前节点
*返回值：当前子树根节点
*功能：左旋调平衡
**********************************************/
AVLTreeNode *AVLTree::LeftRotate(AVLTreeNode *tempNode)
{
AVLTreeNode *lChildNode=tempNode->rightChild->leftChild,*newRoot=tempNode->rightChild;
tempNode->rightChild->leftChild=tempNode;
tempNode->rightChild=lChildNode;
tempNode->height=max(GetHeight(tempNode->leftChild),GetHeight(tempNode->rightChild))+1;
if(NULL!=tempNode->rightChild)
tempNode->rightChild->height=max(GetHeight(tempNode->rightChild->leftChild),GetHeight(tempNode->rightChild->rightChild))+1;
return newRoot;
}
/*********************************************
*参数：当前节点
*返回值：当前子树根节点
*功能：右旋调平衡
**********************************************/
AVLTreeNode *AVLTree::RightRotate(AVLTreeNode *tempNode)
{
AVLTreeNode *rChildNode=tempNode->leftChild->rightChild,*newRoot=tempNode->leftChild;
tempNode->leftChild->rightChild=tempNode;
tempNode->leftChild=rChildNode;
tempNode->height=max(GetHeight(tempNode->leftChild),GetHeight(tempNode->rightChild))+1;
if(NULL!=tempNode->leftChild)
tempNode->leftChild->height=max(GetHeight(tempNode->leftChild->leftChild),GetHeight(tempNode->leftChild->rightChild))+1;
return newRoot;
}
/*********************************************
*参数：当前节点
*返回值：当前子树根节点
*功能：先左旋后右旋调平衡
**********************************************/
AVLTreeNode *AVLTree::LeftAndRightRotate(AVLTreeNode *tempNode)
{
tempNode->leftChild=LeftRotate(tempNode->leftChild);
return RightRotate(tempNode);
}
/*********************************************
*参数：当前节点
*返回值：当前子树根节点
*功能：先右旋后左旋调平衡
**********************************************/
AVLTreeNode *AVLTree::RightAndLeftRotate(AVLTreeNode *tempNode)
{
tempNode->rightChild=RightRotate(tempNode->rightChild);
return LeftRotate(tempNode);
}
/*********************************************
*参数：待插入元素,当前节点
*返回值：当前子树根节点
*功能：插入元素到当前节点的子树
**********************************************/
AVLTreeNode *AVLTree::Insert(int tempKey,AVLTreeNode *tempNode)
{
if(NULL==tempNode)
return tempNode=new AVLTreeNode(tempKey);
else
{
if(tempKey==tempNode->key)
return tempNode;
else if(tempKey<tempNode->key)
tempNode->leftChild=Insert(tempKey,tempNode->leftChild);
else tempNode->rightChild=Insert(tempKey,tempNode->rightChild);
}
//tempNode->height=max(GetHeight(tempNode->leftChild),GetHeight(tempNode->rightChild))+1;
if(2==GetHeight(tempNode->leftChild)-GetHeight(tempNode->rightChild))
{
if(tempKey<tempNode->leftChild->key)
tempNode=RightRotate(tempNode);
else tempNode=LeftAndRightRotate(tempNode);
}
else if(-2==GetHeight(tempNode->leftChild)-GetHeight(tempNode->rightChild))
{
if(tempKey>tempNode->rightChild->key)
tempNode=LeftRotate(tempNode);
else tempNode=RightAndLeftRotate(tempNode);
}
tempNode->height=max(GetHeight(tempNode->leftChild),GetHeight(tempNode->rightChild))+1;
return tempNode;
}
void AVLTree::Insert(int tempKey)
{
root=Insert(tempKey,root);
}
/*********************************************
*参数：待删除元素,当前节点
*返回值：当前子树根节点
*功能：删除元素
**********************************************/
AVLTreeNode *AVLTree::Delete(bool &isDelSucceed,int tempKey,AVLTreeNode *tempNode)
{
if(NULL==tempNode)
return NULL;
else
{
if(tempKey==tempNode->key)
{
if(NULL==tempNode->rightChild)
{
AVLTreeNode *cur=tempNode;
tempNode=tempNode->leftChild;
delete cur;
isDelSucceed=true;
return tempNode;
}
else//找到右子树最小的元素代替，然后删除
{
AVLTreeNode *cur=tempNode->rightChild;
while(cur->leftChild!=NULL)
cur=cur->leftChild;
tempNode->key=cur->key;
tempNode->rightChild=Delete(isDelSucceed,cur->key,tempNode->rightChild);
}
}
else if(tempKey<tempNode->key)
tempNode->leftChild=Delete(isDelSucceed,tempKey,tempNode->leftChild);
else tempNode->rightChild=Delete(isDelSucceed,tempKey,tempNode->rightChild);
if(-2==GetHeight(tempNode->leftChild)-GetHeight(tempNode->rightChild))//删除的是左子树上的
{
if(GetHeight(tempNode->rightChild->rightChild)>=GetHeight(tempNode->rightChild->leftChild))
tempNode=LeftRotate(tempNode);
else tempNode=RightAndLeftRotate(tempNode);
}
else if(2==GetHeight(tempNode->leftChild)-GetHeight(tempNode->rightChild))
{
if(GetHeight(tempNode->leftChild->leftChild)>=GetHeight(tempNode->leftChild->rightChild))
tempNode=RightRotate(tempNode);
else tempNode=LeftAndRightRotate(tempNode);
}
tempNode->height=max(GetHeight(tempNode->leftChild),GetHeight(tempNode->rightChild))+1;
}
return tempNode;
}
bool AVLTree::Delete(int tempKey)
{
bool isDelSucceed=false;
root=Delete(isDelSucceed,tempKey,root);
return isDelSucceed;
}
/**********************************************************
*参数：待修改节点元素、修改后的元素
*返回值：返回修改是否成功
*功能：修改函数
************************************************************/
bool AVLTree::Updata(int oldKey,int newKey)
{
if(Delete(oldKey))
{
Insert(newKey);
return true;
}
return false;
}
/**********************************************************
*参数：当前子树根节点
*返回值：空
*功能：前序遍历二叉查找树
************************************************************/
void AVLTree::PreOrderPrint(AVLTreeNode *tempNode)
{
if(NULL==tempNode)
return ;
cout<<tempNode->key<<" ";
PreOrderPrint(tempNode->leftChild);
PreOrderPrint(tempNode->rightChild);
}
void AVLTree::PreOrderPrint()
{
PreOrderPrint(this->root);
}
/**********************************************************
*参数：当前子树根节点
*返回值：空
*功能：中序遍历二叉查找树
************************************************************/
void AVLTree::InOrderPrint(AVLTreeNode *tempNode)
{
if(NULL==tempNode)
return ;
InOrderPrint(tempNode->leftChild);
cout<<tempNode->key<<" ";
InOrderPrint(tempNode->rightChild);
}
void AVLTree::InOrderPrint()
{
InOrderPrint(root);
}
/**********************************************************
*参数：当前子树根节点
*返回值：空
*功能：后序遍历二叉查找树树
************************************************************/
void AVLTree::SufOrderPrint(AVLTreeNode *tempNode)
{
if(NULL==tempNode)
return ;
SufOrderPrint(tempNode->leftChild);
SufOrderPrint(tempNode->rightChild);
cout<<tempNode->key<<" ";
}
void AVLTree::SufOrderPrint()
{
SufOrderPrint(root);
}
/**********************************************************
*参数：当前子树根节点，缩进列数
*返回值：空
*功能：翻转打印AVL树
************************************************************/
void AVLTree::RotatePrint(AVLTreeNode *tempNode,int tempColumn)
{
if(NULL==tempNode)
return ;
RotatePrint(tempNode->leftChild,tempColumn+1);
for(int i=0;i<tempColumn;i++)
cout<<" ";
cout<<"---"<<tempNode->key<<endl;
RotatePrint(tempNode->rightChild,tempColumn+1);
}
void AVLTree::RotatePrint()
{
RotatePrint(root,0);
}
void Menu()
{
int val,choice,newVal;
AVLTree myAVLTree;
while(true)
{
do
{
cout<<"&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"<<endl;
cout<<" 1.插入"<<endl;
cout<<" 2.删除"<<endl;
cout<<" 3.修改"<<endl;
cout<<" 4.查找"<<endl;
cout<<" 5.显示"<<endl;
cout<<" 6.返回"<<endl;
cout<<"请输入你的选项[ ]\b\b";
cin>>choice;
}while(choice!=1&&choice!=2&&choice!=3&&choice!=4&&choice!=5&&choice!=6);
if(1==choice)
{
cin>>val;
myAVLTree.Insert(val);
}
else if(2==choice)
{
cin>>val;
if(myAVLTree.Delete(val))
cout<<"删除成功!"<<endl;
else cout<<"删除失败!"<<endl;
}
else if(3==choice)
{
cin>>val>>newVal;
if(myAVLTree.Updata(val,newVal))
cout<<"修改成功!"<<endl;
else cout<<"修改失败!"<<endl;
}
else if(4==choice)
{
cin>>val;
if(NULL!=myAVLTree.Search(val))
cout<<"查找成功!"<<endl;
else cout<<"查找失败!"<<endl;
}
else if(5==choice)
{
cout<<endl<<"*****************************"<<endl;
cout<<endl<<"==========前序=============="<<endl;
myAVLTree.PreOrderPrint();
cout<<endl<<"==========中序================"<<endl;
myAVLTree.InOrderPrint();
cout<<endl<<"==========后续==============="<<endl;
myAVLTree.SufOrderPrint();
cout<<endl<<"==========对称+旋转==============="<<endl;
myAVLTree.RotatePrint();
cout<<endl<<"*****************************"<<endl;
}
else return ;
}
}
int main()
{
while(true)
Menu();
return 0;
}
上面是我的源代码，可能有很多不合理的地方，欢迎斧正！