HDU 4675 GCD of Sequence（数学）

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题意：

给一个序列 {an}（ai <= M），问有多少种 {bn} ，满足恰好 k 个位置与 {an} 不同，且 gcd of {bn} = d（1<= d <=M）。

解题思路：

比赛时没有什么思路，赛后看了题解才搞懂。这题的关键是要想到，将比较难解的最大公约数的问题转成公约数的问题。

令 f[d] 表示满足条件的且 gcd 为 d 的方案数，g[d] 表示满足条件的且 cd 为 d 的方案数。

有 g[d] = f[d] + f[2*d] + f[3*d] + ... ，则 f[d] = g[d] - f[2*d] - f[3*d] 。

而对于 g[d] ，我们可以先统计出 {an} 中 d 的倍数的个数，假设有 x 个。

如果 n-x > k，显然结果为 0；

如果 n-x <= k，我们先要将这 n-x 个位置变成 d 的倍数，每种位置有 M/d 种选择且相互独立，共有 (M/d) ^ (n-x) 种。同样，对于剩下的 k-(n-x) 个位置，我们需要将这些之前虽然也是 d 的倍数的变成另一个 d 的倍数，每种位置有 M/d - 1 种选择且相互独立，共有 C(x,k-(n-x)) * (M/d - 1) ^ (k-(n-x)) 种。相乘即可。

复杂度是O(m * log m)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 3e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

int cnt[N],fac[N],fac_inv[N];

long long ans[N];

int pow_mod(int a,int n){
    long long ret = 1, base = a;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret = ret * base % mod;
        base = base * base % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

long long inv(long long a){
    return a == 1 ? 1 : inv(mod % a) * (mod - mod/a) % mod;
}

int C(int n,int m){
    return (long long)fac[n] * fac_inv[m] % mod * fac_inv[n-m] % mod;
}

int main()
{
    fac[0] = fac_inv[0] = 1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        fac[i] = (long long)fac[i-1] * i % mod;
        fac_inv[i] = inv(fac[i]);
    }
    int n,m,k;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k))
    {
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int num;
            scanf("%d",&num);
            cnt[num]++;
        }
        for(int d=m;d>=1;d--)
        {
            int sum = 0;
            for(int i=d;i<=m;i+=d)
                sum += cnt[i];
            if(sum < n-k)
                ans[d] = 0;
            else
            {
                ans[d] = (long long)pow_mod(m/d,n-sum) * pow_mod(m/d-1,k-n+sum) % mod;
                ans[d] = ans[d] * C(sum,k-n+sum) % mod;
                for(int i=d+d;i<=m;i+=d)
                    ans[d] = (ans[d] - ans[i]) % mod;
                ans[d] = (ans[d] + mod) % mod;
            }
        }
        for(int d=1;d<=m;d++)
            printf("%I64d%c",ans[d],d==m?'\n':' ');
    }
    return 0;
}