把p个对象排成k个非空循环排列的方法数 组合数学-第一类stirling数

根据《组合数学》中，定理8.2.9：把p个可区分对象排成k个非空循环排列的方法数，称作第一类stirling数，用小写s(p,k)表示。

什么叫非空循环排列？

比如序列12345，将其首尾连接起来组成循环排列，那么经过循环移动得到的序列都是等价的，即234561，345612等。

其和第一类stirling数的关联：

两者递推关系式上非常接近。

第一类是把p个对象划分为k个非空循环排列，第二类是把p个对象划分为k个非空份。显然第一类的情况更加复杂，所以第一类stirling数较大。

第一类stirling数用小写s(p,k)表示，第二类stirling数用大小S(p,k)表示。

递推公式：

边界条件：

s(0,0) = 1

当p>=0，s(p,p) = 1

当p>=1，s(p,0) = 0

递推公式：

当1<= k <=p-1，s(p,k) = (p-1)*s(p-1,k) + s(p-1,k-1)

对于某一个对象，它可以自己作为一个非空循环排列，则其它的对象组成了问题s(p-1,k-1)；它也可以和其他p-1个对象黏合在一起，比如黏合在其他对象左边当成一个对象，那么成了p-1个问题s(p-1,k)。

具体应用：

目前我还没遇到此类题目。等遇到之后再补。