第k元素log(n)算法--划分树

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第k元素log(n)算法--划分树

2009/11/27, 23:01

前几天学线段树,这个经典的K-th number一直没有做,关键是听别人说复杂度是log(n)^3,我对这个需要两次二分+一次查找的算法非常的不爽,于是一直拖着没搞
今天正准备着手这题的时候,发现PKU的Disscuss有人提到log(n)的算法,而且编程复杂度比log(n)^3的还小,于是对这种算法充满了憧憬,那个log(n)^3的写到一半也放弃了(其实log(n)^3的归并树算法化简了之后就是求n个有序数列的第k大数)
YY了很久之后,得到下边这个代码..关键部分已经很明白的加了的注释
完全看明白之后会发现一个非常有趣的现象,划分树逆着做就变成了归并树
(其实我也不知道这是不是hyerty大神所说的划分树,乱YY的)
画了一颗划分树对数列[1 5 2 3 6 4 7 3 0 0]进行划分,下图有助于理解(红色表示该数被分到左儿子)

划分树

^? View Code CPP

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

#define M 100001 struct Seg_Tree{ int left,right; int mid() { return (left + right) >> 1; } }tt[M*4]; int len; int sorted[M]; int toLeft[20][M]; int val[20][M];   void build(int l,int r,int d,int idx) { tt[idx].left = l; tt[idx].right = r; if(tt[idx].left == tt[idx].right) return ; int mid = tt[idx].mid(); int lsame = mid - l + 1;//lsame表示和val_mid相等且分到左边的 for(int i = l ; i <= r ; i ++) { if(val[d][i] < sorted[mid]) { lsame --;//先假设左边的数(mid - l + 1)个都等于val_mid,然后把实际上小于val_mid的减去 } } int lpos = l; int rpos = mid+1; int same = 0; for(int i = l ; i <= r ; i ++) { if(i == l) { toLeft[d][i] = 0;//toLeft[i]表示[ tt[idx].left , i ]区域里有多少个数分到左边 } else { toLeft[d][i] = toLeft[d][i-1]; } if(val[d][i] < sorted[mid]) { toLeft[d][i] ++; val[d+1][lpos++] = val[d][i]; } else if(val[d][i] > sorted[mid]) { val[d+1][rpos++] = val[d][i]; } else { if(same < lsame) {//有lsame的数是分到左边的 same ++; toLeft[d][i] ++; val[d+1][lpos++] = val[d][i]; } else { val[d+1][rpos++] = val[d][i]; } } } build(l,mid,d+1,LL(idx)); build(mid+1,r,d+1,RR(idx)); }   int query(int l,int r,int k,int d,int idx) { if(l == r) { return val[d][l]; } int s;//s表示[ l , r ]有多少个分到左边 int ss;//ss表示 [tt[idx].left , l-1 ]有多少个分到左边 if(l == tt[idx].left) { s = toLeft[d][r]; ss = 0; } else { s = toLeft[d][r] - toLeft[d][l-1]; ss = toLeft[d][l-1]; } if(s >= k) {//有多于k个分到左边,显然去左儿子区间找第k个 int newl = tt[idx].left + ss; int newr = tt[idx].left + ss + s - 1;//计算出新的映射区间 return query(newl,newr,k,d+1,LL(idx)); } else { int mid = tt[idx].mid(); int bb = l - tt[idx].left - ss;//bb表示 [tt[idx].left , l-1 ]有多少个分到右边 int b = r - l + 1 - s;//b表示 [l , r]有多少个分到右边 int newl = mid + bb + 1; int newr = mid + bb + b; return query(newl,newr,k-s,d+1,RR(idx)); } }   int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T --) { int n , m; scanf("%d%d",&n,&m); FOR(i,1,n+1) { scanf("%d",&val[0][i]); sorted[i] = val[0][i]; } sort(sorted + 1 , sorted + n + 1); build(1,n,0,1); while(m --) { int l,r,k; scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); printf("%d\n",query(l,r,k,0,1)); } } return 0; }

后记:写完后去PKU交了一下,原以为不是rank1也至少是前十,结果连1s都没跑进去...
看了数据后发现m<=5000很少
意味着 nlogn(建树常数较大) + mlngn
和 nlogn(建树常数小)+mlogn^3
前者没占多少优势...
在我们hduoj也找了一道,所幸这题m <= 100000很大
两题比较:
OJ nlog(n) + mlog(n) nlog(n) + mlog(n)^3
HDU 少于500MS 3000MS左右
PKU 1000MS左右 1000-2000MS

2010.7.23跟新
扩展:
Minimum Sum
找到区间中的中位数,然后确定绝对值只和
就是找区间[l,r]的第(l-r+2)/2个数,而求和的话在Query函数里找到kth number后递归上来后再处理一下,需要另开一个数组sum[deep][i]表示第deep层,区间[ tt[idx].Left , i]的和

我比较懒都没有解释什么,只写了个代码
这篇文章解释的很清楚,可以去看看
我的代码只是为了理解方便点写的这么麻烦,其实划分树可以写的很简洁很简洁的,有好多地方可以优化~~

标签： K-th,  log(n),  划分树,  归并树,  线段树
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hdu3727Jewel(划分树+二分)

分类： 划分树 数据结构 2013-10-10 12:36  84人阅读  评论(0)  收藏  举报

数据结构

题目请戳这里

题目大意：给许多操作，4类：

1，insert x，插入一个数x，x范围2^31内（题目描述有误）

2，query_1 s t k，查询范围[s,t]内第k小的数，s<=t<=len(当前数字长度)

3,query_2 x   查询x的rank，从小到大。x保证出现过

4，query_3 x，查询[1,len]第x小的数。

输出3个数，为3个询问累加和。

题目分析：由于没有删除操作，所以加入的数字序列是不变的，所以离线处理。

q1和q3其实是一个操作，查询区间第k大值问题，划分树搞。

q2的话，其实也可以通过二分转化为划分树操作。如果愿意，写棵线段树单独维护一下也是可以的，不过要离散化。为了偷懒，选择二分+划分树啦

关于划分树，其实也是基于线段树的一个数据结构，模拟归并排序的过程，不断分治。详细讲解戳这里

详情请见代码：

 #include <iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N = 100005;
 const int M = 110005;
 const int DEEP = 20;
 typedef __int64 ll;
 ll ans[3];
 struct node
 {
     int optype;
     int a,b,c;
 }op[M];
 int n,m;
 char str[20];
 int num[DEEP][N],lefta[DEEP][N],lcm[N];

 void build(int s,int e,int nm,int dp)
 {
     if(s == e)
         return;
     int mid = (s + e)>>1;
     int lsame = mid - s + 1;
     int i,same = 0;
     for(i = s;i <= e;i ++)
         if(num[dp][i] < lcm[mid])
             lsame --;
     int lpos = s,rpos = mid + 1;
     for(i = s;i <= e;i ++)
     {
         if(i == s)
             lefta[dp][i] = 0;
         else
             lefta[dp][i] = lefta[dp][i - 1];
         if(num[dp][i] < lcm[mid])
         {
             lefta[dp][i] ++;
             num[dp + 1][lpos ++] = num[dp][i];
         }
         else
         {
             if(num[dp][i] > lcm[mid])
                 num[dp + 1][rpos ++] = num[dp][i];
             else
             {
                 if(same < lsame)
                 {
                     same ++;
                     lefta[dp][i] ++;
                     num[dp + 1][lpos ++] = num[dp][i];
                 }
                 else
                     num[dp + 1][rpos ++] = num[dp][i];
             }
         }
     }
     build(s,mid,nm<<1,dp + 1);
     build(mid + 1,e,nm<<1|1,dp + 1);
 }
 int query(int s,int e,int nm,int dp,int l,int r,int k)
 {
     if(s == e)
         return num[dp][s];
     int mid = (s + e)>>1;
     int sa,sb;
     if(s == l)
         sb = 0;
     else
         sb = lefta[dp][l - 1];
     sa = lefta[dp][r] - sb;
     if(sa >= k)
     {
         int newl = s + sb;
         int newr = s + sb + sa - 1;
         return query(s,mid,nm<<1,dp + 1,newl,newr,k);
     }
     else
     {
         int bb = l - s - sb;
         int b = r - l + 1 - sa;
         int newl = mid + bb + 1;
         int newr = mid + bb + b;
         return query(mid + 1,e,nm<<1|1,dp + 1,newl,newr,k - sa);
     }
 }
 ll getans1(int a,int b,int c)
 {
     int mid,la,ra;
     la = a;ra = b;
     while(la <= ra)
     {
         mid = (la + ra)>>1;
         int tmp = query(1,n,1,0,a,b,mid);
         if(tmp == c)
             return mid - a + 1;
         else if(tmp > c)
                 ra = mid - 1;
             else
                 la = mid + 1;
     }
 }
 int main()
 {
     int i;
     int t,q,a,b,c,cas = 0;
     while(~scanf("%d",&q))
     {
         n = m = 1;
         while(q --)
         {
             scanf("%s",str);
             if(str[0] == 'I')
             {
                 scanf("%d",&lcm[n]);
                 num[0][n] = lcm[n ++];
             }
             else
             {
                 if(str[strlen(str) - 1] == '1')
                 {
                     scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
                     op[m].optype = 0;
                     op[m].a = a;op[m].b = b;op[m ++].c = c;
                 }
                 else if(str[strlen(str) - 1] == '2')
                     {
                         scanf("%d",&a);
                         op[m].optype = 1;
                         op[m].a = 1;op[m].b = n - 1;
                         op[m ++].c = a;
                     }
                     else
                     {
                         scanf("%d",&a);
                         op[m].optype = 2;
                         op[m].a = 1;op[m].b = n - 1;
                         op[m ++].c = a;
                     }
             }
         }
         sort(lcm + 1,lcm + n);
         n --;
         build(1,n,1,0);
         ans[1] = ans[0] = ans[2] = 0;
         for(i = 1;i < m;i ++)
         {
             if(op[i].optype == 1)
             {
                 int tmp = getans1(op[i].a,op[i].b,op[i].c);
                 ans[op[i].optype] += tmp;
             }
             else
             {
                 int tmp = query(1,n,1,0,op[i].a,op[i].b,op[i].c);
                 ans[op[i].optype] += tmp;
             }
         }
         printf("Case %d:\n%I64d\n%I64d\n%I64d\n",++cas,ans[0],ans[1],ans[2]);
     }
     return 0;
 }
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