求最大权二分匹配的KM算法

最大权二分匹配问题就是给二分图的每条边一个权值，选择若干不相交的边，得到的总权值最大。解决这个问题可以用KM算法。理解KM算法需要首先理解“可行顶标”的概念。可行顶标是指关于二分图两边的每个点的一个值lx[i]或ly[j]，保证对于每条边w[i][j]都有lx[i]+ly[j]-w[i][j]>=0。如果所有满足lx[i]+ly[j]==w[i][j]的边组成的导出子图中存在一个完美匹配，那么这个完美匹配肯定就是原图中的最大权匹配。理由很简单：这个匹配的权值之和恰等于所有顶标的和，由于上面的那个不等式，另外的任何匹配方案的权值和都不会大于所有顶标的和。

但问题是，对于当前的顶标的导出子图并不一定存在完美匹配。这时，可以用某种方法对顶标进行调整。调整的方法是：根据最后一次不成功的寻找交错路的DFS，取所有i被访问到而j没被访问到的边(i,j)的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值d。将交错树中的所有左端点的顶标减小d，右端点的顶标增加d。经过这样的调整以后：原本在导出子图里面的边，两边的顶标都变了，不等式的等号仍然成立，仍然在导出子图里面；原本不在导出子图里面的边，它的左端点的顶标减小了，右端点的顶标没有变，而且由于d的定义，不等式仍然成立，所以他就可能进入了导出子图里。

初始时随便指定一个可行顶标，比如说lx[i]=max{w[i][j]|j是右边的点}，ly[i]=0。然后对每个顶点进行类似Hungary算法的find过程，如果某次find没有成功，则按照这次find访问到的点对可行顶标进行上述调整。这样就可以逐步找到完美匹配了。

值得注意的一点是，按照上述d的定义去求d的话需要O(N^2)的时间，因为d需要被求O(N^2)次，这就成了算法的瓶颈。可以这样优化：设slack[j]表示右边的点j的所有不在导出子图的边对应的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值，在find过程中，若某条边不在导出子图中就用它对相应的slack值进行更新。然后求d只要用O(N)的时间找到slack中的最小值就可以了。

如果是求最小权匹配，只需要把那个不等式反一下就行了。算法需要作出的改变是：lx的初值为所有临界边中的最小值，find中t反号。

示例程序(Ural 1076)：
ural1076.cpp

June 18, 2007 · Filed under 程序园