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对扩展欧几里得,首先给出三个定理
定理一:如果d = gcd(a, b),则必能找到正的或负的整数k和l,使d = a*x+ b*y。
定理二:若gcd(a, b) = 1,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。
定理三:若gcd(a, b) = d,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
声明一下——式子ax + by = c 和 ax ≡ c (mod b)是可以相互转化的。
思路:设最少跳t次可以碰面,那么可以得到(x + m * t) - (y + n * t) = k * L。(其中k为整数)
转化该式——k * L + (n - m) * t = x - y
设d = gcd(n-m, L),因为x-y可能不是n-m和L的最大公约数,设time = (x-y) / d。
式子k * L + (n - m) * t = time * d -————> k * L / time + (n - m) * t / time = d
这样就对应了a * x + b * y = c的形式,其中a = L, b = n - m,x = L / time,y = t / time。
利用扩展欧几里得求出x,y,这样就得到t = y * time。
由定理三:可知在[0, b/d-1] 即 [0, L/d-1]上有唯一解,这样的话我们只需要对求出的t 对 L/d取余就可以了。
AC代码:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <algorithm> #define LL long long using namespace std; //求解ax + by = gcd(a, b) = d,可以求出x和y。 //x和y可能是负数或者0 且求出的|x| + |y|最小 void exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) { if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else { exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x * (a / b); } } int main() { LL x, y, m, n, L; while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L) != EOF) { LL k, t, d; exgcd(L, n-m, d, k, t); if((x-y) % d) { printf("Impossible\n"); continue; } L /= d; printf("%lld\n", ((x - y) / d * t % L + L) % L); } return 0; }