数据结构之（图最短路径之）Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

本文转自http://blog.csdn.net/wingofeagle/article/details/13091191

1）常用的图最短路径的算法有两个：Dijkstra算法和Floyd算法；

2）Dijkstra算法适用于求图中两节点之间最短路径，Floyd算法适于求图中任意两节点间；

3）两种算法的主要思想是动态规划，而Dijkstra算法设计比较巧妙的是：在求源节点到终结点自底向上的过程中，源节点到某一节点之间最短路径的确定上（这也是我之前苦于没有解决的地方），其解决方法是通过比较每次循环中源节点到各个节点的权值来找出最小值即最短路径，然后再对各个权值进行修正，再循环。。。这种求最短路径的方式与图最小生成树算法之Kruskal（克鲁斯卡尔）算法有异曲同工之妙；

4）该算法的时间复杂度度是O(N^2),N是节点的个数。

具体实现代码如下：

 // Dijkstra_ShortestPath.cpp : Defines the entry point for the console application.
 //

 #include "stdafx.h"


 #include "stdio.h"

 #define OK 1
 #define ERROR 0
 #define TRUE 1
 #define FALSE 0

 #define MAXEDGE 20
 #define MAXVEX 20
 #define INFINITY 65535

 typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

 typedef struct
 {
     int vexs[MAXVEX];
     int arc[MAXVEX][MAXVEX];
     int numVertexes, numEdges;
 }MGraph;

 typedef int Patharc[MAXVEX];    /* 用于存储最短路径下标的数组 */
 typedef int ShortPathTable[MAXVEX];/* 用于存储到各点最短路径的权值和 */

 /* 构件图 */
 void CreateMGraph(MGraph *G)
 {
     int i, j;

     //printf("请输入边数和顶点数:");
     G->numEdges=16;
     G->numVertexes=9;

     for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
     {
         G->vexs[i]=i;
     }

     for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
     {
         for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
         {
             if (i==j)
                 G->arc[i][j]=0;
             else
                 G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
         }
     }

     G->arc[0][1]=1;
     G->arc[0][2]=5;
     G->arc[1][2]=3;
     G->arc[1][3]=7;
     G->arc[1][4]=5;

     G->arc[2][4]=1;
     G->arc[2][5]=7;
     G->arc[3][4]=2;
     G->arc[3][6]=3;
     G->arc[4][5]=3;

     G->arc[4][6]=6;
     G->arc[4][7]=9;
     G->arc[5][7]=5;
     G->arc[6][7]=2;
     G->arc[6][8]=7;

     G->arc[7][8]=4;


     for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
     {
         for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
         {
             G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
         }
     }

 }

 /*  Dijkstra算法，求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */
 /*  P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */
 void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
 {
     int v,w,k,min;
     int final[MAXVEX];/* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */
     for(v=0; v<G.numVertexes; v++)    /* 初始化数据 */
     {
         final[v] = 0;           /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */
         (*D)[v] = G.arc[v0][v];/* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */
         (*P)[v] = 0;                /* 初始化路径数组P为0  */
     }

     (*D)[v0] = 0;  /* v0至v0路径为0 */
     final[v0] = 1;    /* v0至v0不需要求路径 */
     /* 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */
     for(v=1; v<G.numVertexes; v++)
     {
         min=INFINITY;    /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */
         for(w=0; w<G.numVertexes; w++) /* 寻找离v0最近的顶点 */
         {
             if(!final[w] && (*D)[w]<min)
             {
                 k=w;
                 min = (*D)[w];    /* w顶点离v0顶点更近 */
             }
         }
         final[k] = 1;    /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */
         for(w=0; w<G.numVertexes; w++) /* 修正当前最短路径及距离 */
         {
             /* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
             if(!final[w] && (min+G.arc[k][w]<(*D)[w]))
             { /*  说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w] */
                 (*D)[w] = min + G.arc[k][w];  /* 修改当前路径长度 */
                 (*P)[w]=k;
             }
         }
     }
 }

 int main(void)
 {
     int i,j,v0;
     MGraph G;
     Patharc P;
     ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */
     v0=0;

     CreateMGraph(&G);

     ShortestPath_Dijkstra(G, v0, &P, &D);

     printf("最短路径倒序如下:\n");
     for(i=1;i<G.numVertexes;++i)
     {
         printf("v%d - v%d : ",v0,i);
         j=i;
         while(P[j]!=0)
         {
             printf("%d ",P[j]);
             j=P[j];
         }
         printf("\n");
     }
     printf("\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n");
     for(i=1;i<G.numVertexes;++i)
         printf("v%d - v%d : %d \n",G.vexs[0],G.vexs[i],D[i]);
     return 0;
 }

实现结果如下