仿射變換

http://blog.csdn.net/anklean/article/details/3354156

最近換了新的工作，可惡的是這個地方不能上網，因此上論壇的時間大量減少。

工作中遇到了將圖形進行旋轉，查了幾本書，發現了仿射變換，才後悔大學時沒有好好學習數學和圖形學。

將找到的一篇文章轉帖在這兒。

 

空間直角坐標轉換之仿射變換

作者：3echo    文章來源：http://www.cnblogs.com/3echo/   

   
 
工作開發中常常會遇到坐標系轉換的問題，關於如何實現不同坐標系之間的轉換的論述非常之多，基於實際應用項目，大都提出了一種較好的解決方法。兩年前，我也從網上下載了一篇文章——《坐標系轉換公式》（青島海洋地質研究所戴勤奮譯），文中對各種變換模型都有詳細的描述，如莫洛金斯基-巴德卡斯轉換模型、赫爾黙特轉換模型、布爾莎模型以及多項式轉換，算是一篇比較全面介紹坐標系轉換方面的文章。

我想大家對常用轉換模型的理解方面一般不會有大太困難，如果基於當前流行GIS平台（如超圖、ArcGIS、MapInfo）的基礎上作二次開發，我想也不會有什麼困難，只要找准了它們提供的接口，理順一下思路，我們也能實現用戶提出的需求。但是對於內核算法、參數求解的過程我們卻一無所知，很多時候我們自己覺得解決了這個問題，也就不會太去關注底層實現的算法問題了。不過，說實話要去真正弄清楚各個模型之間的關系確實是一件頭痛的事情，沒有一定的數學功底還真的是不知道它在說些什麼。

二、仿射變換

仿射變換是空間直角坐標變換的一種，它是一種二維坐標到二維坐標之間的線性變換，保持二維圖形的「平直線」和「平行性」，其可以通過一系列的原子變換的復合來實現，包括平移(Translation)、縮放（Scale）、翻轉（Flip）、旋轉（Rotation）和剪切(Shear)。

此類變換可以用一個3×3的矩陣來表示，其最後一行為(0, 0, 1)。該變換矩陣將原坐標(x, y)變換為新坐標(x', y')，這裡原坐標和新坐標皆視為最末一行為(1)的三維列向量，原列向量左乘變換矩陣得到新的列向量：

[x']   [m00 m01 m02] [x]   [m00*x+m01*y+m02]

[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]

[1 ]   [ 0   0   1 ] [1]   [     1         ]

用代數式表示如下：

x』 = m00*x+m01*y+m02；

             y』 = m10*x+m11*y+m12；

如果將它寫成按旋轉、縮放、平移三個分量的復合形式，則其代數式如下：

X= (x-x0)cosθ+(y-y0)sinθ+x0
Y=-(x-x0)sinθ+(y-y0)cosθ+y0

 

    其示意圖如下：

幾種典型的仿射變換：

1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)

平移變換，將每一點移動到(x+tx, y+ty)，變換矩陣為：

[   1    0    tx  ]

[   0    1    ty  ]

[   0    0    1   ]

（譯注：平移變換是一種「剛體變換」，rigid-body transformation，中學學過的物理，都知道啥叫「剛體」吧，就是不會產生形變的理想物體，平移當然不會改變二維圖形的形狀。同理，下面的「旋轉變換」也是剛體變換，而「縮放」、「錯切」都是會改變圖形形狀的。）

2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)

縮放變換，將每一點的橫坐標放大（縮小）至sx倍，縱坐標放大（縮小）至sy倍，變換矩陣為：

[   sx   0    0   ]

[   0    sy   0   ]

[   0    0    1   ]

3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)

剪切變換，變換矩陣為：

[   1   shx   0   ]

[  shy   1    0   ]

[   0    0    1   ]

相當於一個橫向剪切與一個縱向剪切的復合

[   1      0    0   ][   1   shx   0   ]

[  shy    1    0   ][   0     1   0  ]

[   0      0    1   ][   0     0    1  ]

（譯注：「剪切變換」又稱「錯切變換」，指的是類似於四邊形不穩定性那種性質，街邊小商店那種鐵拉門都見過吧？想象一下上面鐵條構成的菱形拉動的過程，那就是「錯切」的過程。）

4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

旋轉變換，目標圖形圍繞原點順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：

[   cos(theta)    -sin(theta)    0   ]

[   sin(theta)     cos(theta)    0   ]

[       0           0            1   ]

5.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)

旋轉變換，目標圖形以(x, y)為軸心順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：

[   cos(theta)    -sin(theta)    x-x*cos+y*sin]

[   sin(theta)     cos(theta)    y-x*sin-y*cos ]

[       0              0          1            ]

相當於兩次平移變換與一次原點旋轉變換的復合：

[1  0  -x][cos(theta)  -sin(theta)  0][1  0  x]

[0  1  -y][sin(theta)   cos(theta)  0][0  1  y]

[0  0  1 ][   0           0        1 ][0  0  1]

三、仿射變換四參數求解

A、C#自定義函數實現求解：

        1、求解旋轉參數Rotaion:

 

1.  /**////
2.        ///獲取旋轉角度 
3.        /// 
4.        ///源點1 
5.        ///目標點1 
6.         ///源點2 
7.         ///目標點2 
8.         ///返回旋轉角度 
9.         private double GetRotation(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1,CoordPoint fromPoint2,CoordPoint toPoint2)
10.         {
11.             double a = (toPoint2.Y - toPoint1.Y) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) - (toPoint2.X - toPoint1.X) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y);
12.             double b = (toPoint2.X - toPoint1.X) * (fromPoint2.X - fromPoint1.X) + (toPoint2.Y - toPoint1.Y) * (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y);
13.             
14.             if (Math.Abs(b) > 0)
15.                 return Math.Tan(a / b);
16.             else
17.                 return Math.Tan(0);            
18.         }

        2、求解縮放比例參數(Scale):

 

2. /**////
3.        ///獲取縮放比例因子 
4.        /// 
5.        ///源點1 
6.        ///目標點1 
7.         ///源點2 
8.         ///目標點2 
9.         ///旋轉角度 
10.         ///返回旋轉因子 
11.         private double GetScale(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1, CoordPoint fromPoint2, CoordPoint toPoint2, double rotation)
12.         {
13.             double a = toPoint2.X - toPoint1.X;
14.             double b = (fromPoint2.X - fromPoint1.X) * Math.Cos(rotation) - (fromPoint2.Y - fromPoint1.Y)*Math.Sin(rotation);
15.             if (Math.Abs(b) > 0)
16.                 return a / b;
17.             else
18.                 return 0;
19.         }

       3、求解X方向偏移距離參數（XTranslate）:

 

 /**////       ///得到X方向偏移量        ///        ///源點1        ///目標點1         ///旋轉角度         ///縮放因子         ///返回X方向偏移量         private double GetXTranslation(CoordPoint fromPoint1,CoordPoint toPoint1,double rotation,double scale)

        {            return (toPoint1.X - scale * (fromPoint1.X * Math.Cos(rotation) - fromPoint1.Y * Math.Sin(rotation)));

        }

      4、求解Y方向偏移距離參數(YTranslate):

 

1.  /**////
3.       ///得到Y方向偏移量 
5.       /// 
7.       ///源點1 
9.       ///目標點1 
11.        ///旋轉角度 
13.        ///縮放因子 
15.        ///返回Y方向偏移量 
17.        private double GetYTranslation(CoordPoint fromPoint1, CoordPoint toPoint1, double rotation, double scale)
19.        {
21.            return (toPoint1.Y - scale * (fromPoint1.X * Math.Sin(rotation) + fromPoint1.Y * Math.Cos(rotation)));
23.        }

       B、C#+AE求解：

 

 

2.  /**////
4.        ///從控制點定義仿射變換程式 
6.        /// 
8.        ///源控制點 
10.        ///目標控制點 
12.         ///返回變換定義 
14.         private ITransformation GetAffineTransformation(IPoint[] pFromPoints, IPoint[] pToPoints)
16.         {
18.             //實例化仿射變換對象 
20.             IAffineTransformation2D3GEN tAffineTransformation = new AffineTransformation2DClass();
22.             //從源控制點定義參數 
24.             tAffineTransformation.DefineFromControlPoints(ref pFromPoints, ref pToPoints);
26.             //查詢引用接口 
28.             ITransformation tTransformation = tAffineTransformation as ITransformation;
30.             return tTransformation;
32.         }

四、空間對象轉換

求出參數後，再利用公式對相應坐標點進行轉換是一件相對簡單的事件了。

示例代碼：

 

1.  /**////
3.       ///從控制點定義仿射變換程式 
5.       /// 
7.       ///源控制點 
9.       ///目標控制點 
11.        ///返回變換定義 
13.        private ITransformation GetAffineTransformation(IPoint[] pFromPoints, IPoint[] pToPoints)
15.        {
17.            //實例化仿射變換對象 
19.            IAffineTransformation2D3GEN tAffineTransformation = new AffineTransformation2DClass();
21.            //從源控制點定義參數 
23.            tAffineTransformation.DefineFromControlPoints(ref pFromPoints, ref pToPoints);
25.            //查詢引用接口 
27.            ITransformation tTransformation = tAffineTransformation as ITransformation;
29.            return tTransformation;
31.        }

       五 總結：

本文主要介紹了如何利用仿射變換方程來進行空間直角坐標轉換，對仿射變換的幾種典型情況作了詳細的講解，對於具體如何求解參數給出了關鍵的實現代碼，對於空間對象的變換給出了參考示例。如果是ArcGIS用戶，完全可以利用它自身提供的接口進行空間轉換。

寫這篇文章的時候，說實話，對於坐標變換的各個模型我也不是完全的理解，心中存在著許多問題，比如說如何利用最小二乘法公式來求解參數就一直沒有弄清楚，還希望各位朋友能夠多多指點，不勝感激！

六 備注

希望基於AE開發的朋友注意一下，9.2版本中提供的關於仿射變換模型，其代數形式有誤：

其提供的錯誤代數形式：

X=ax+by+c

Y=-bx+ay+f

正確形式應該如下:

X=ax-by+c

Y=bx+ay+d

參考資料：

1、《坐標系轉換公式》（青島海洋地質研究所戴勤奮譯）

2、Java文檔幫助之AffineTransform

3、ESRI開發文檔
 

 

因為現在工作的地方保密條例比較嚴格，因此不將自己的代碼貼出來了。

關於備注，作者所講的代數式子

X=ax-by+c

Y=bx+ay+d

是正確的。

但是在實際編程應用中，因為C，C++等語言所提供的sin函數得到的結果是有符號的，即sin(負數)得到的結果是個負數，因此在編程中的式子應該是

X=ax+by+c

Y=-bx+ay+f