蓝桥杯历届试题 矩阵翻硬币

问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小     明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

  题目的意思很清楚。小明提供了一种算法，这里演示一下 n = 2,m = 3 矩阵的翻硬币过程(1 表示 正面， 0 表示反面)

1	1	1
1	1	1

                                                   -->(x , y) =(1 , 1)      

                                                   x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	0	0
0	0	0

                                                   -->(x , y) =(1 , 2)
                                                   x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	1	0
0	1	0

                                                   -->(x ,y) = (1 , 3)

0	1	1
0	1	1

                                                    -->(x , y) = (2 , 1)

0	1	1
1	0	0

                                                   -->(x ,y) = (2 , 2)

0	1	1
1	1	0

                                                  -->(x ,y) = (2 , 3)

0	1	1
1	1	1

想必大家也看出了规律，我们令初始状态都为1，然后对每一个坐标进行操作，最后值为0个数的就是开始时反面的个数。本想用暴力，但是对于 n 和 m ，如此大的数肯定不行，所以我们继续分析还有什么其他的规律。

先看 n = 1 的情况：对于(1 , m),只要看它翻转的次数的奇偶就能确定它最终的状态（次数为偶数最后肯定为正面，次数为奇数最后肯定为反面）。因为当x = 1， 确定每次第一行都要参与翻转，当 m 是 y 的倍数的时候，(1 , m)就会翻转，所以(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数，1 的约数个数为1 ， 3 的约数个数为2， 5 的约数个数为2， 9 的约数个数为3。也就是说当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数，否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现，所以必为偶数，而一个数的平方数，有两个约数相等，所以要减一个相同的就变成了奇数。

所以，对于(1 , m)来说，若m = k^2(k = 1 ,2 ,3···)则最终状态为0，否则为1。

而最后0的个数总和就是我们要的结果

再来看一般情况：(n , m)最后状态是什么？现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出，当m确定后，他的翻转次数为 n 的约数个数。

而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了，只有在(n, m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数，所以n ,m的各自的约数个数都必须为奇数，即： n = i^2 (i = 1 ,2 ,3···) 且  m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。

最后得出结论：对于n行m列矩阵，经过 Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(即取整后再相乘)。

找到了公式，又有了对n和m开方的问题，对于n和m输入形式肯定是字符串，所以我们用到了它的长度

        假设位数为len的整数，开方取整后为一个lenSqrt位数。

        当len为偶数，lenSqrt = len / 2 .

        当len为奇数，lenSqrt = (len / 2) + 1 .

 现在就简单了，位数确定了之后具体的数既可以从高位到低位一位一位地确定。比如：sqrt(1028)，表示对1028开方取整

     它开方取整后两位数.先看第一位：

                                  取 0， 00 * 00 < 1028  所以sqrt(1028) >00

                                  取 1， 10 * 10 < 1028  所以sqrt(1028) >10

                                  取 2， 20 * 20 < 1028  所以sqrt(1028) >20

                                  取 3， 30 * 30 < 1028  所以sqrt(1028) >30

                                  取 4， 40 * 40 > 1028  所以sqrt(1028) <40 , 所以第一位取 3 。

                           第二位：

                                  取 0,  30 * 30 <1028  所以sqrt(1028) > 30
                                  取1,  31 * 31 < 1028  所以sqrt(1028) > 31

                                  取2,  32 * 32 < 1028  所以sqrt(1028) > 32
                                  取3,  33 * 33 > 1028  所以sqrt(1028) < 33 ,所以sqrt(1028) = 32 。

      大数是一样的道理，只不过大数用字符串保存，字符串相乘也要自己来实现。

 我们用到的函数是对字符串开方，字符串比较，字符串相乘

#include <iostream>
#include <string>
#include <string.h>
#include <sstream>
using namespace std;


string multiply(string str1,string str2)//字符串相乘函数 
{
string str="";  //最终结果 
int len1=str1.size(),len2=str2.size(),i,j;//计算两个字符串的函数 
int result[1000]={0};  //开辟数组存乘积并初始化 
for(i=len1-1;i>=0;i--)
 for(j=len2-1;j>=0;j--)
 {
  result[i+j+1]+=(str1[i]-'0')*(str2[j]-'0');
 }
for(i=len1+len2-1;i>=1;i--)//让数组的每一位都是正确的数 
{
result[i-1]=result[i-1]+result[i]/10;
result[i]=result[i]%10;
}
for(i=0;result[i]==0;i++) //前导零不要 
    ;
    for(j=i;j<len1+len2;j++)//转成字符串形式 
        str+=result[j]+'0';
    return str;
}
int compare(string str1,string str,int pos)//字符串比较函数 
{
    int len1=str1.size();
    int len2=str.size();
    if(len2>len1+pos)return 0;
    if(len2<len1+pos)return 1;
    for(int i=0;i<len2;i++)
    {
    if(str1[i]-'0'>str[i]-'0')return 1;
    if(str1[i]-'0'<str[i]-'0')return 0;
}
}


string strsqrt(string str)//对字符串开方取整函数 
{
int len=str.size();
string str1="",str2="";
for(int i=0;i<(len+1)/2;i++)//若len为偶数，len/2=(len+1)/2;若len为奇数，len/2+1=(len+1)/2 
       for(int j=0;j<=9;j++)   //因为每一位的数值都是0~9 
       {
         str1=str2;
          str1+=j+'0';
         if(compare(multiply(str1,str1),str,2*((len+1)/2-1-i))==1)//由于str1后少了(len+1)/2-i-1个0，所以平方以后少了2*((len+1)/2-i-1)个  
            {
               str2+=j-1+'0';
              break;
            }
         if(j==9)
           str2+='9';
       }
    return str2;
}


int main()
{
string n,m;
cin>>n>>m;
cout<<multiply(strsqrt(n),strsqrt(m))<<endl;
return 0;
}