约瑟夫环问题

继续笔试准备ing……分享一下昨天做到的其中一题，其实题目很老，也做过n遍了，但复习起来也是颇有韵味，同时还发现另一种妙解，感觉不错的。
问题描述：
      约瑟夫环问题(Josephus)
      用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）

解法一(My Solution)：
      思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码：

  1  /*
  2   约瑟夫环问题(Josephus)
  3   用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）
  4   Code By Eric Yang 2009
  5    http://ericyang.cnblogs.com
  6  */
  7  #include  < stdio.h >
  8  #include  < stdlib.h >
  9 
 10  //  链表节点
 11  typedef  struct  _RingNode
 12  {
 13       int  pos;   //  位置
 14       struct  _RingNode  * next;
 15  }RingNode,  * RingNodePtr;
 16 
 17  //  创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数
 18  void  CreateRing(RingNodePtr pHead,  int  count)
 19  {
 20      RingNodePtr pCurr  =  NULL, pPrev  =  NULL;
 21       int  i  =   1 ;
 22      pPrev  =  pHead;
 23       while ( -- count  >   0 )
 24      {
 25          pCurr  =  (RingNodePtr)malloc( sizeof (RingNode));
 26          i ++ ;
 27          pCurr -> pos  =  i;
 28          pPrev -> next  =  pCurr;
 29          pPrev  =  pCurr;
 30      }
 31      pCurr -> next  =  pHead;   //  构成环状链表
 32  }
 33 
 34  void  PrintRing(RingNodePtr pHead)
 35  {
 36      RingNodePtr pCurr;
 37      printf( " %d " , pHead -> pos);
 38      pCurr  =  pHead -> next;
 39       while (pCurr  !=  NULL)
 40      {
 41           if (pCurr -> pos  ==   1 )
 42               break ;
 43          printf( " \n%d " , pCurr -> pos);
 44          pCurr  =  pCurr -> next;
 45      }
 46  }
 47 
 48  void  KickFromRing(RingNodePtr pHead,  int  m)
 49  {
 50      RingNodePtr pCurr, pPrev;
 51       int  i  =   1 ;     //  计数
 52      pCurr  =  pPrev  =  pHead;
 53       while (pCurr  !=  NULL)
 54      {
 55           if  (i  ==  m)
 56          {
 57               //  踢出环
 58              printf( " \n%d " , pCurr -> pos);     //  显示出圈循序
 59              pPrev -> next  =  pCurr -> next;
 60              free(pCurr);
 61              pCurr  =  pPrev -> next;
 62              i  =   1 ;
 63          }
 64          pPrev  =  pCurr;
 65          pCurr  =  pCurr -> next;
 66           if  (pPrev  ==  pCurr)
 67          {
 68               //  最后一个
 69              printf( " \n%d " , pCurr -> pos);     //  显示出圈循序
 70              free(pCurr);
 71               break ;
 72          }
 73          i ++ ;
 74      }
 75  }
 76 
 77  int  main()
 78  {
 79       int  m  =   0 , n  =   0 ;
 80      RingNodePtr pHead  =  NULL;
 81      printf( " ---------------Josephus Ring---------------\n " );
 82      printf( " N(person count) =  " );
 83      scanf( " %d " ,  & n);
 84      printf( " M(out number) =  " );
 85      scanf( " %d " ,  & m);
 86       if (n  <=   0   ||  m  <=   0 )
 87      {
 88          printf( " Input Error\n " );
 89          system( " pause " );
 90           return   0 ;
 91      }
 92       //  建立链表
 93      pHead  =  (RingNodePtr)malloc( sizeof (RingNode));
 94      pHead -> pos  =   1 ;
 95      pHead -> next  =  NULL;
 96      CreateRing(pHead, n);
 97  #ifdef _DEBUG
 98      PrintRing(pHead);
 99  #endif
100 
101       //  开始出圈
102      printf( " \nKick Order:  " );
103      KickFromRing(pHead, m);    
104      printf( " \n " );
105      system( " pause " );
106       return   0 ;
107  }
108 

解法二(From Net)：
      思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

 1  #include  < stdio.h >
 2  int  main()
 3  {
 4       int  n, m, i, s  =   0 ;
 5      printf ( " N M =  " );
 6      scanf( " %d%d " ,  & n,  & m);
 7       for  (i  =   2 ; i  <=  n; i ++ )
 8      {
 9          s  =  (s  +  m)  %  i;
10      }
11      printf ( " \nThe winner is %d\n " , s + 1 );
12  }

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。