bzoj 1036[ZJOI] 树的统计

2460 树的统计

 

2008年省队选拔赛浙江

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 题目等级 : 大师 Master

题解

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题目描述 Description

一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。

我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：

1. I.                    CHANGE u t : 把结点u的权值改为t
2. II.                 QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值
3. III.               QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和

 

注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

输入描述 Input Description

输入文件的第一行为一个整数n，表示节点的个数。

       接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。

       接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。

       接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。

接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。

 

输出描述 Output Description

       对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

样例输入 Sample Input

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

样例输出 Sample Output

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

题解：这是一道比较裸的树链剖分，鉴于本人脑残，所以调了一个晚上，才AC。


什么是树链剖分呢？


树链就是树上的路径，剖分就是把树分为轻重链，然后用数据结构对链进行维护。


重链顾名思义就是所用重边练成的链（一个节点的所有儿子中子树节点数最多的儿子是该节点的重儿子，重儿子与该节点的连边即为重边），剩下的都是轻链。


剖分后的树有如下性质：
  性质1：如果(v,u)为轻边，则size[u] * 2 < size[v]；
  性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#define inf 0x7fffffff  
#define N 30005   
#define M 60005  
using namespace std;  
int n,m,next[M],point[N],v[M],val[N],tot=0,mi[20],tm[1000005],ts[1000005];  
int deep[N],fa[N][20],size[N],sz=0,pos[N],belong[N],tv[N];  
void add(int x,int y)//存储边的信息  
{  
  tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;  
  tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;      
}  
void dfs1(int x,int f,int dep)  
{  
  size[x]=1; deep[x]=dep; //deep表示节点的深度  
  for (int i=1;i<=14;i++)  
   {  
     if (deep[x]-mi[i]<0) break;  
     fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];//倍增处理祖先信息  
   }  
  for (int i=point[x];i!=0;i=next[i])  
   if (v[i]!=f)  
   {  
     fa[v[i]][0]=x;  
     dfs1(v[i],x,dep+1);  
     size[x]+=size[v[i]];//记录以该节点为根的子树的大小  
   }  
}  
void dfs2(int x,int chain)  
{  
  int k=0; pos[x]=++sz; //x节点在线段树中的新编号  
  tv[sz]=val[x];//因为重新编号，所有需要对于存储点权，为之后建立线段树做准备  
  belong[x]=chain;//这样每条链的起点即为chain  
  for (int i=point[x];i!=0;i=next[i])  
   if (size[v[i]]>size[k]&&deep[v[i]]>deep[x])   
    k=v[i];  
  if (k==0) return;  
  dfs2(k,chain);  
  for (int i=point[x];i!=0;i=next[i])  
   if (v[i]!=k&&deep[v[i]]>deep[x])  dfs2(v[i],v[i]);  
}  
int lca(int x,int y)//求最近公共祖先  
{  
  if (deep[x]<deep[y])  swap(x,y);  
  int ch=deep[x]-deep[y];  
  for (int i=0;i<=14;i++)  
   if (ch>>i&1)  x=fa[x][i];  
  if (x==y)  return x;  
  for (int i=14;i>=0;i--)  
   if (fa[x][i]!=fa[y][i])  
    x=fa[x][i],y=fa[y][i];  
  return fa[x][0];  
}  
void build(int now,int l,int r)//建树  
{  
  if (l==r)  
   {  
     tm[now]=ts[now]=tv[l];  
     return;  
   }  
  int mid=(l+r)/2;  
  build(now<<1,l,mid);  
  build((now<<1)+1,mid+1,r);  
  ts[now]=ts[now<<1]+ts[(now<<1)+1];  
  tm[now]=max(tm[now<<1],tm[(now<<1)+1]);  
}  
void change(int now,int l,int r,int point,int value)//点修改  
{  
  if (l==r)  
   {  
    ts[now]=tm[now]=value;   
    return;  
   }  
  int mid=(l+r)/2;  
  if (point<=mid)  
   change(now<<1,l,mid,point,value);  
  else  
   change((now<<1)+1,mid+1,r,point,value);  
  ts[now]=ts[now<<1]+ts[(now<<1)+1];    
  tm[now]=max(tm[now<<1],tm[(now<<1)+1]);   
}  
int qjsum(int now,int l,int r,int ll,int rr)//区间求和  
{  
  int sum=0;  
  if (ll<=l&&rr>=r)  
   return ts[now];  
  int mid=(l+r)/2;  
  if (ll<=mid)  
   sum+=qjsum(now<<1,l,mid,ll,rr);  
  if (rr>mid)  
   sum+=qjsum((now<<1)+1,mid+1,r,ll,rr);  
  return sum;  
}  
int qjmax(int now,int l,int r,int ll,int rr)//区间求最值  
{  
  int maxn=-inf;  
  if(ll<=l&&rr>=r)  
   return tm[now];  
  int mid=(l+r)/2;  
  if (ll<=mid)  maxn=max(maxn,qjmax(now<<1,l,mid,ll,rr));  
  if (rr>mid)  maxn=max(maxn,qjmax((now<<1)+1,mid+1,r,ll,rr));  
  return maxn;  
}  
int solvesum(int x,int f)  
{  
  int sum=0;  
  while (belong[x]!=belong[f])//不在一条重链上就将x跳到链首，走一条轻边，如此反复  
   {  
     sum+=qjsum(1,1,n,pos[belong[x]],pos[x]);  
     x=fa[belong[x]][0];  
   }  
  sum+=qjsum(1,1,n,pos[f],pos[x]); return sum;  
}  
int solvemax(int x,int f)  
{  
  int ans=-inf;  
  while (belong[x]!=belong[f])  
   {  
     ans=max(ans,qjmax(1,1,n,pos[belong[x]],pos[x]));  
     x=fa[belong[x]][0];  
   }  
  ans=max(ans,qjmax(1,1,n,pos[f],pos[x])); return ans;  
}  
int main()  
{  
  scanf("%d",&n);  
  for (int i=1;i<n;i++)  
   {  
    int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);  
    add(x,y);  
   }  
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);  
  mi[0]=1;  
  for (int i=1;i<=14;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;  
  dfs1(1,0,1);  
  dfs2(1,1);  
  scanf("%d",&m); char s[10]; int x,y;  
  build(1,1,n);   
  for (int i=1;i<=m;i++)  
   {  
     scanf("%s%d%d",s,&x,&y);  
     if (s[0]=='C')   
      {  
        change(1,1,n,pos[x],y),val[x]=y;  
        continue;  
      }  
     int t=lca(x,y); //这里就是一种RE的地方，因为刚开始CHANGE的时候也求了lca，所以。。。。。  
     if (s[1]=='M') printf("%d\n",max(solvemax(x,t),solvemax(y,t)));  
     if (s[1]=='S') printf("%d\n",solvesum(x,t)+solvesum(y,t)-val[t]);   
   }  
}